转置卷积

转置卷积

🏷sec_transposed_conv

到目前为止，我们所见到的卷积神经网络层，例如卷积层（ :numref:sec_conv_layer）和汇聚层（ :numref:sec_pooling），通常会减少下采样输入图像的空间维度（高和宽）。
然而如果输入和输出图像的空间维度相同，在以像素级分类的语义分割中将会很方便。
例如，输出像素所处的通道维可以保有输入像素在同一位置上的分类结果。

为了实现这一点，尤其是在空间维度被卷积神经网络层缩小后，我们可以使用另一种类型的卷积神经网络层，它可以增加上采样中间层特征图的空间维度。
本节将介绍
转置卷积（transposed convolution） :cite:Dumoulin.Visin.2016，
用于逆转下采样导致的空间尺寸减小。

from mxnet import np, npx, init
from mxnet.gluon import nn
from d2l import mxnet as d2l

npx.set_np()
​

#@tab pytorch
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l
​

#@tab paddle
from d2l import paddle as d2l
import paddle
from paddle import nn
​

基本操作

让我们暂时忽略通道，从基本的转置卷积开始，设步幅为1且没有填充。
假设我们有一个n_h \times n_w的输入张量和一个k_h \times k_w的卷积核。
以步幅为1滑动卷积核窗口，每行n_w次，每列n_h次，共产生n_h n_w个中间结果。
每个中间结果都是一个(n_h + k_h - 1) \times (n_w + k_w - 1)的张量，初始化为0。
为了计算每个中间张量，输入张量中的每个元素都要乘以卷积核，从而使所得的k_h \times k_w张量替换中间张量的一部分。
请注意，每个中间张量被替换部分的位置与输入张量中元素的位置相对应。
最后，所有中间结果相加以获得最终结果。

例如， :numref:fig_trans_conv解释了如何为2\times 2的输入张量计算卷积核为2\times 2的转置卷积。

🏷fig_trans_conv

我们可以对输入矩阵X和卷积核矩阵K(实现基本的转置卷积运算)trans_conv。

#@tab all
def trans_conv(X, K):
    h, w = K.shape
    Y = d2l.zeros((X.shape[0] + h - 1, X.shape[1] + w - 1))
    for i in range(X.shape[0]):
        for j in range(X.shape[1]):
            Y[i: i + h, j: j + w] += X[i, j] * K
    return Y
​

与通过卷积核“减少”输入元素的常规卷积（在 :numref:sec_conv_layer中）相比，转置卷积通过卷积核“广播”输入元素，从而产生大于输入的输出。
我们可以通过 :numref:fig_trans_conv来构建输入张量X和卷积核张量K从而[验证上述实现输出]。
此实现是基本的二维转置卷积运算。

#@tab all
X = d2l.tensor([[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]])
K = d2l.tensor([[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]])
trans_conv(X, K)
​

或者，当输入X和卷积核K都是四维张量时，我们可以[使用高级API获得相同的结果]。

X, K = X.reshape(1, 1, 2, 2), K.reshape(1, 1, 2, 2)
tconv = nn.Conv2DTranspose(1, kernel_size=2)
tconv.initialize(init.Constant(K))
tconv(X)
​

#@tab pytorch
X, K = X.reshape(1, 1, 2, 2), K.reshape(1, 1, 2, 2)
tconv = nn.ConvTranspose2d(1, 1, kernel_size=2, bias=False)
tconv.weight.data = K
tconv(X)
​

#@tab paddle
X, K = X.reshape([1, 1, 2, 2]), K.reshape([1, 1, 2, 2])
tconv = nn.Conv2DTranspose(1, 1, kernel_size=2, bias_attr=False)
K = paddle.create_parameter(shape=K.shape, dtype="float32", 
        default_initializer=paddle.nn.initializer.Assign(K))
tconv.weight = K
tconv(X)
​

[填充、步幅和多通道]

与常规卷积不同，在转置卷积中，填充被应用于的输出（常规卷积将填充应用于输入）。
例如，当将高和宽两侧的填充数指定为1时，转置卷积的输出中将删除第一和最后的行与列。

tconv = nn.Conv2DTranspose(1, kernel_size=2, padding=1)
tconv.initialize(init.Constant(K))
tconv(X)
​

#@tab pytorch
tconv = nn.ConvTranspose2d(1, 1, kernel_size=2, padding=1, bias=False)
tconv.weight.data = K
tconv(X)
​

#@tab paddle
tconv = nn.Conv2DTranspose(1, 1, kernel_size=2, padding=1, bias_attr=False)
tconv.weight = K
tconv(X)
​

在转置卷积中，步幅被指定为中间结果（输出），而不是输入。
使用 :numref:fig_trans_conv中相同输入和卷积核张量，将步幅从1更改为2会增加中间张量的高和权重，因此输出张量在 :numref:fig_trans_conv_stride2中。

🏷fig_trans_conv_stride2

以下代码可以验证 :numref:fig_trans_conv_stride2中步幅为2的转置卷积的输出。

tconv = nn.Conv2DTranspose(1, kernel_size=2, strides=2)
tconv.initialize(init.Constant(K))
tconv(X)
​

#@tab pytorch
tconv = nn.ConvTranspose2d(1, 1, kernel_size=2, stride=2, bias=False)
tconv.weight.data = K
tconv(X)
​

#@tab paddle
tconv = nn.Conv2DTranspose(1, 1, kernel_size=2, stride=2, bias_attr=False)
tconv.weight = K
tconv(X)
​

对于多个输入和输出通道，转置卷积与常规卷积以相同方式运作。
假设输入有c_i个通道，且转置卷积为每个输入通道分配了一个k_h\times k_w的卷积核张量。
当指定多个输出通道时，每个输出通道将有一个c_i\times k_h\times k_w的卷积核。

同样，如果我们将\mathsf{X}代入卷积层f来输出\mathsf{Y}=f(\mathsf{X})，并创建一个与f具有相同的超参数、但输出通道数量是\mathsf{X}中通道数的转置卷积层g，那么g(Y)的形状将与\mathsf{X}相同。
下面的示例可以解释这一点。

X = np.random.uniform(size=(1, 10, 16, 16))
conv = nn.Conv2D(20, kernel_size=5, padding=2, strides=3)
tconv = nn.Conv2DTranspose(10, kernel_size=5, padding=2, strides=3)
conv.initialize()
tconv.initialize()
tconv(conv(X)).shape == X.shape
​

#@tab pytorch
X = torch.rand(size=(1, 10, 16, 16))
conv = nn.Conv2d(10, 20, kernel_size=5, padding=2, stride=3)
tconv = nn.ConvTranspose2d(20, 10, kernel_size=5, padding=2, stride=3)
tconv(conv(X)).shape == X.shape
​

#@tab paddle
X = paddle.rand(shape=(1, 10, 16, 16))
conv = nn.Conv2D(10, 20, kernel_size=5, padding=2, stride=3)
tconv = nn.Conv2DTranspose(20, 10, kernel_size=5, padding=2, stride=3)
tconv(conv(X)).shape == X.shape
​

[与矩阵变换的联系]

🏷subsec-connection-to-mat-transposition

转置卷积为何以矩阵变换命名呢？
让我们首先看看如何使用矩阵乘法来实现卷积。
在下面的示例中，我们定义了一个3\times 3的输入X和2\times 2卷积核K，然后使用corr2d函数计算卷积输出Y。

#@tab mxnet, pytorch
X = d2l.arange(9.0).reshape(3, 3)
K = d2l.tensor([[1.0, 2.0], [3.0, 4.0]])
Y = d2l.corr2d(X, K)
Y
​

#@tab paddle
X = d2l.arange(9.0, dtype="float32").reshape((3, 3))
K = d2l.tensor([[1.0, 2.0], [3.0, 4.0]])
Y = d2l.corr2d(X, K)
Y
​

接下来，我们将卷积核K重写为包含大量0的稀疏权重矩阵W。
权重矩阵的形状是（4，9），其中非0元素来自卷积核K。

#@tab mxnet, pytorch
def kernel2matrix(K):
    k, W = d2l.zeros(5), d2l.zeros((4, 9))
    k[:2], k[3:5] = K[0, :], K[1, :]
    W[0, :5], W[1, 1:6], W[2, 3:8], W[3, 4:] = k, k, k, k
    return W

W = kernel2matrix(K)
W
​

#@tab paddle
def kernel2matrix(K):
    k, W = d2l.zeros([5]), d2l.zeros((4, 9))
    k[:2], k[3:5] = K[0, :], K[1, :]
    W[0, :5], W[1, 1:6], W[2, 3:8], W[3, 4:] = k, k, k, k
    return W

W = kernel2matrix(K)
W
​

逐行连结输入X，获得了一个长度为9的矢量。
然后，W的矩阵乘法和向量化的X给出了一个长度为4的向量。
重塑它之后，可以获得与上面的原始卷积操作所得相同的结果Y：我们刚刚使用矩阵乘法实现了卷积。

#@tab mxnet, pytorch
Y == d2l.matmul(W, d2l.reshape(X, -1)).reshape(2, 2)
​

#@tab paddle
Y == d2l.matmul(W, d2l.reshape(X, [-1])).reshape((2, 2))
​

同样，我们可以使用矩阵乘法来实现转置卷积。
在下面的示例中，我们将上面的常规卷积2 \times 2的输出Y作为转置卷积的输入。
想要通过矩阵相乘来实现它，我们只需要将权重矩阵W的形状转置为(9, 4)。

#@tab mxnet, pytorch
Z = trans_conv(Y, K)
Z == d2l.matmul(W.T, d2l.reshape(Y, -1)).reshape(3, 3)
​

#@tab paddle
Z = trans_conv(Y, K)
Z == d2l.matmul(W.T, d2l.reshape(Y, [-1])).reshape((3, 3))
​

抽象来看，给定输入向量\mathbf{x}和权重矩阵\mathbf{W}，卷积的前向传播函数可以通过将其输入与权重矩阵相乘并输出向量\mathbf{y}=\mathbf{W}\mathbf{x}来实现。
由于反向传播遵循链式法则和\nabla_{\mathbf{x}}\mathbf{y}=\mathbf{W}^\top，卷积的反向传播函数可以通过将其输入与转置的权重矩阵\mathbf{W}^\top相乘来实现。
因此，转置卷积层能够交换卷积层的正向传播函数和反向传播函数：它的正向传播和反向传播函数将输入向量分别与\mathbf{W}^\top和\mathbf{W}相乘。

小结

• 与通过卷积核减少输入元素的常规卷积相反，转置卷积通过卷积核广播输入元素，从而产生形状大于输入的输出。
• 如果我们将\mathsf{X}输入卷积层f来获得输出\mathsf{Y}=f(\mathsf{X})并创造一个与f有相同的超参数、但输出通道数是\mathsf{X}中通道数的转置卷积层g，那么g(Y)的形状将与\mathsf{X}相同。
• 我们可以使用矩阵乘法来实现卷积。转置卷积层能够交换卷积层的正向传播函数和反向传播函数。

练习

1. 在 :numref:subsec-connection-to-mat-transposition中，卷积输入X和转置的卷积输出Z具有相同的形状。他们的数值也相同吗？为什么？
2. 使用矩阵乘法来实现卷积是否有效率？为什么？

:begin_tab:mxnet
Discussions
:end_tab:

:begin_tab:pytorch
Discussions
:end_tab:

:begin_tab:paddle
Discussions
:end_tab: