softmax回归

🏷sec_softmax

在 :numref:sec_linear_regression中我们介绍了线性回归。
随后，在 :numref:sec_linear_scratch中我们从头实现线性回归。
然后，在 :numref:sec_linear_concise中我们使用深度学习框架的高级API简洁实现线性回归。

回归可以用于预测多少的问题。
比如预测房屋被售出价格，或者棒球队可能获得的胜场数，又或者患者住院的天数。

事实上，我们也对分类问题感兴趣：不是问“多少”，而是问“哪一个”：

• 某个电子邮件是否属于垃圾邮件文件夹？
• 某个用户可能注册或不注册订阅服务？
• 某个图像描绘的是驴、狗、猫、还是鸡？
• 某人接下来最有可能看哪部电影？

通常，机器学习实践者用分类这个词来描述两个有微妙差别的问题：

1. 我们只对样本的“硬性”类别感兴趣，即属于哪个类别；
2. 我们希望得到“软性”类别，即得到属于每个类别的概率。
   这两者的界限往往很模糊。其中的一个原因是：即使我们只关心硬类别，我们仍然使用软类别的模型。

分类问题

🏷subsec_classification-problem

我们从一个图像分类问题开始。
假设每次输入是一个2\times2的灰度图像。
我们可以用一个标量表示每个像素值，每个图像对应四个特征x_1, x_2, x_3, x_4。
此外，假设每个图像属于类别“猫”“鸡”和“狗”中的一个。

接下来，我们要选择如何表示标签。
我们有两个明显的选择：最直接的想法是选择y \in \{1, 2, 3\}，
其中整数分别代表\{\text{狗}, \text{猫}, \text{鸡}\}。
这是在计算机上存储此类信息的有效方法。
如果类别间有一些自然顺序，
比如说我们试图预测\{\text{婴儿}, \text{儿童}, \text{青少年}, \text{青年人}, \text{中年人}, \text{老年人}\}，
那么将这个问题转变为回归问题，并且保留这种格式是有意义的。

但是一般的分类问题并不与类别之间的自然顺序有关。
幸运的是，统计学家很早以前就发明了一种表示分类数据的简单方法：独热编码（one-hot encoding）。
独热编码是一个向量，它的分量和类别一样多。
类别对应的分量设置为1，其他所有分量设置为0。
在我们的例子中，标签y将是一个三维向量，
其中(1, 0, 0)对应于“猫”、(0, 1, 0)对应于“鸡”、(0, 0, 1)对应于“狗”：

网络架构

为了估计所有可能类别的条件概率，我们需要一个有多个输出的模型，每个类别对应一个输出。
为了解决线性模型的分类问题，我们需要和输出一样多的仿射函数（affine function）。
每个输出对应于它自己的仿射函数。
在我们的例子中，由于我们有4个特征和3个可能的输出类别，
我们将需要12个标量来表示权重（带下标的w），
3个标量来表示偏置（带下标的b）。
下面我们为每个输入计算三个未规范化的预测（logit）：o_1、o_2和o_3。

我们可以用神经网络图 :numref:fig_softmaxreg来描述这个计算过程。
与线性回归一样，softmax回归也是一个单层神经网络。
由于计算每个输出o_1、o_2和o_3取决于
所有输入x_1、x_2、x_3和x_4，
所以softmax回归的输出层也是全连接层。

🏷fig_softmaxreg

为了更简洁地表达模型，我们仍然使用线性代数符号。
通过向量形式表达为\mathbf{o} = \mathbf{W} \mathbf{x} + \mathbf{b}，
这是一种更适合数学和编写代码的形式。
由此，我们已经将所有权重放到一个3 \times 4矩阵中。
对于给定数据样本的特征\mathbf{x}，
我们的输出是由权重与输入特征进行矩阵-向量乘法再加上偏置\mathbf{b}得到的。

全连接层的参数开销

🏷subsec_parameterization-cost-fc-layers

正如我们将在后续章节中看到的，在深度学习中，全连接层无处不在。
然而，顾名思义，全连接层是“完全”连接的，可能有很多可学习的参数。
具体来说，对于任何具有d个输入和q个输出的全连接层，
参数开销为\mathcal{O}(dq)，这个数字在实践中可能高得令人望而却步。
幸运的是，将d个输入转换为q个输出的成本可以减少到\mathcal{O}(\frac{dq}{n})，
其中超参数n可以由我们灵活指定，以在实际应用中平衡参数节约和模型有效性
:cite:Zhang.Tay.Zhang.ea.2021。

softmax运算

🏷subsec_softmax_operation

现在我们将优化参数以最大化观测数据的概率。
为了得到预测结果，我们将设置一个阈值，如选择具有最大概率的标签。

我们希望模型的输出\hat{y}_j可以视为属于类j的概率，
然后选择具有最大输出值的类别\operatorname*{argmax}_j y_j作为我们的预测。
例如，如果\hat{y}_1、\hat{y}_2和\hat{y}_3分别为0.1、0.8和0.1，
那么我们预测的类别是2，在我们的例子中代表“鸡”。

然而我们能否将未规范化的预测o直接视作我们感兴趣的输出呢？
答案是否定的。
因为将线性层的输出直接视为概率时存在一些问题：
一方面，我们没有限制这些输出数字的总和为1。
另一方面，根据输入的不同，它们可以为负值。
这些违反了 :numref:sec_prob中所说的概率基本公理。

要将输出视为概率，我们必须保证在任何数据上的输出都是非负的且总和为1。
此外，我们需要一个训练的目标函数，来激励模型精准地估计概率。
例如，
在分类器输出0.5的所有样本中，我们希望这些样本是刚好有一半实际上属于预测的类别。
这个属性叫做校准（calibration）。

社会科学家邓肯·卢斯于1959年在选择模型（choice model）的理论基础上
发明的softmax函数正是这样做的：
softmax函数能够将未规范化的预测变换为非负数并且总和为1，同时让模型保持
可导的性质。
为了完成这一目标，我们首先对每个未规范化的预测求幂，这样可以确保输出非负。
为了确保最终输出的概率值总和为1，我们再让每个求幂后的结果除以它们的总和。如下式：

:eqlabel:eq_softmax_y_and_o

这里，对于所有的j总有0 \leq \hat{y}_j \leq 1。
因此，\hat{\mathbf{y}}可以视为一个正确的概率分布。
softmax运算不会改变未规范化的预测\mathbf{o}之间的大小次序，只会确定分配给每个类别的概率。
因此，在预测过程中，我们仍然可以用下式来选择最有可能的类别。

尽管softmax是一个非线性函数，但softmax回归的输出仍然由输入特征的仿射变换决定。
因此，softmax回归是一个线性模型（linear model）。

小批量样本的矢量化

🏷subsec_softmax_vectorization

为了提高计算效率并且充分利用GPU，我们通常会对小批量样本的数据执行矢量计算。
假设我们读取了一个批量的样本\mathbf{X}，
其中特征维度（输入数量）为d，批量大小为n。
此外，假设我们在输出中有q个类别。
那么小批量样本的特征为\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}，
权重为\mathbf{W} \in \mathbb{R}^{d \times q}，
偏置为\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{1\times q}。
softmax回归的矢量计算表达式为：

:eqlabel:eq_minibatch_softmax_reg

相对于一次处理一个样本，
小批量样本的矢量化加快了\mathbf{X}和\mathbf{W}的矩阵-向量乘法。
由于\mathbf{X}中的每一行代表一个数据样本，
那么softmax运算可以按行（rowwise）执行：
对于\mathbf{O}的每一行，我们先对所有项进行幂运算，然后通过求和对它们进行标准化。
在 :eqref:eq_minibatch_softmax_reg中，
\mathbf{X} \mathbf{W} + \mathbf{b}的求和会使用广播机制，
小批量的未规范化预测\mathbf{O}和输出概率\hat{\mathbf{Y}}
都是形状为n \times q的矩阵。

损失函数

接下来，我们需要一个损失函数来度量预测的效果。
我们将使用最大似然估计，这与在线性回归
（ :numref:subsec_normal_distribution_and_squared_loss）
中的方法相同。

对数似然

softmax函数给出了一个向量\hat{\mathbf{y}}，
我们可以将其视为“对给定任意输入\mathbf{x}的每个类的条件概率”。
例如，\hat{y}_1=P(y=\text{猫} \mid \mathbf{x})。
假设整个数据集\{\mathbf{X}, \mathbf{Y}\}具有n个样本，
其中索引i的样本由特征向量\mathbf{x}^{(i)}和独热标签向量\mathbf{y}^{(i)}组成。
我们可以将估计值与实际值进行比较：

根据最大似然估计，我们最大化P(\mathbf{Y} \mid \mathbf{X})，相当于最小化负对数似然：

其中，对于任何标签\mathbf{y}和模型预测\hat{\mathbf{y}}，损失函数为：

:eqlabel:eq_l_cross_entropy

在本节稍后的内容会讲到， :eqref:eq_l_cross_entropy中的损失函数
通常被称为交叉熵损失（cross-entropy loss）。
由于\mathbf{y}是一个长度为q的独热编码向量，
所以除了一个项以外的所有项j都消失了。
由于所有\hat{y}_j都是预测的概率，所以它们的对数永远不会大于0。
因此，如果正确地预测实际标签，即如果实际标签P(\mathbf{y} \mid \mathbf{x})=1，
则损失函数不能进一步最小化。
注意，这往往是不可能的。
例如，数据集中可能存在标签噪声（比如某些样本可能被误标），
或输入特征没有足够的信息来完美地对每一个样本分类。

softmax及其导数

🏷subsec_softmax_and_derivatives

由于softmax和相关的损失函数很常见，
因此我们需要更好地理解它的计算方式。
将 :eqref:eq_softmax_y_and_o代入损失 :eqref:eq_l_cross_entropy中。
利用softmax的定义，我们得到：

考虑相对于任何未规范化的预测o_j的导数，我们得到：

换句话说，导数是我们softmax模型分配的概率与实际发生的情况（由独热标签向量表示）之间的差异。
从这个意义上讲，这与我们在回归中看到的非常相似，
其中梯度是观测值y和估计值\hat{y}之间的差异。
这不是巧合，在任何指数族分布模型中
（参见本书附录中关于数学分布的一节），
对数似然的梯度正是由此得出的。
这使梯度计算在实践中变得容易很多。

交叉熵损失

现在让我们考虑整个结果分布的情况，即观察到的不仅仅是一个结果。
对于标签\mathbf{y}，我们可以使用与以前相同的表示形式。
唯一的区别是，我们现在用一个概率向量表示，如(0.1, 0.2, 0.7)，
而不是仅包含二元项的向量(0, 0, 1)。
我们使用 :eqref:eq_l_cross_entropy来定义损失l，
它是所有标签分布的预期损失值。
此损失称为交叉熵损失（cross-entropy loss），它是分类问题最常用的损失之一。
本节我们将通过介绍信息论基础来理解交叉熵损失。
如果想了解更多信息论的细节，请进一步参考
本书附录中关于信息论的一节。

信息论基础

🏷subsec_info_theory_basics

信息论（information theory）涉及编码、解码、发送以及尽可能简洁地处理信息或数据。

熵

信息论的核心思想是量化数据中的信息内容。
在信息论中，该数值被称为分布P的熵（entropy）。可以通过以下方程得到：

:eqlabel:eq_softmax_reg_entropy

信息论的基本定理之一指出，为了对从分布p中随机抽取的数据进行编码，
我们至少需要H[P]“纳特（nat）”对其进行编码。
“纳特”相当于比特（bit），但是对数底为e而不是2。因此，一个纳特是\frac{1}{\log(2)} \approx 1.44比特。

信息量

压缩与预测有什么关系呢？
想象一下，我们有一个要压缩的数据流。
如果我们很容易预测下一个数据，那么这个数据就很容易压缩。
为什么呢？
举一个极端的例子，假如数据流中的每个数据完全相同，这会是一个非常无聊的数据流。
由于它们总是相同的，我们总是知道下一个数据是什么。
所以，为了传递数据流的内容，我们不必传输任何信息。也就是说，“下一个数据是xx”这个事件毫无信息量。

但是，如果我们不能完全预测每一个事件，那么我们有时可能会感到"惊异"。
克劳德·香农决定用信息量\log \frac{1}{P(j)} = -\log P(j)来量化这种惊异程度。
在观察一个事件j时，并赋予它（主观）概率P(j)。
当我们赋予一个事件较低的概率时，我们的惊异会更大，该事件的信息量也就更大。
在 :eqref:eq_softmax_reg_entropy中定义的熵，
是当分配的概率真正匹配数据生成过程时的信息量的期望。

重新审视交叉熵

如果把熵H(P)想象为“知道真实概率的人所经历的惊异程度”，那么什么是交叉熵？
交叉熵从P到Q，记为H(P, Q)。
我们可以把交叉熵想象为“主观概率为Q的观察者在看到根据概率P生成的数据时的预期惊异”。
当P=Q时，交叉熵达到最低。
在这种情况下，从P到Q的交叉熵是H(P, P)= H(P)。

简而言之，我们可以从两方面来考虑交叉熵分类目标：
（i）最大化观测数据的似然；（ii）最小化传达标签所需的惊异。

模型预测和评估

在训练softmax回归模型后，给出任何样本特征，我们可以预测每个输出类别的概率。
通常我们使用预测概率最高的类别作为输出类别。
如果预测与实际类别（标签）一致，则预测是正确的。
在接下来的实验中，我们将使用精度（accuracy）来评估模型的性能。
精度等于正确预测数与预测总数之间的比率。

小结

• softmax运算获取一个向量并将其映射为概率。
• softmax回归适用于分类问题，它使用了softmax运算中输出类别的概率分布。
• 交叉熵是一个衡量两个概率分布之间差异的很好的度量，它测量给定模型编码数据所需的比特数。

练习

1. 我们可以更深入地探讨指数族与softmax之间的联系。
   1. 计算softmax交叉熵损失l(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})的二阶导数。
   2. 计算\mathrm{softmax}(\mathbf{o})给出的分布方差，并与上面计算的二阶导数匹配。
2. 假设我们有三个类发生的概率相等，即概率向量是(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})。
   1. 如果我们尝试为它设计二进制代码，有什么问题？
   2. 请设计一个更好的代码。提示：如果我们尝试编码两个独立的观察结果会发生什么？如果我们联合编码n个观测值怎么办？
3. softmax是对上面介绍的映射的误称（虽然深度学习领域中很多人都使用这个名字）。真正的softmax被定义为\mathrm{RealSoftMax}(a, b) = \log (\exp(a) + \exp(b))。
   1. 证明\mathrm{RealSoftMax}(a, b) > \mathrm{max}(a, b)。
   2. 证明\lambda^{-1} \mathrm{RealSoftMax}(\lambda a, \lambda b) > \mathrm{max}(a, b)成立，前提是\lambda > 0。
   3. 证明对于\lambda \to \infty，有\lambda^{-1} \mathrm{RealSoftMax}(\lambda a, \lambda b) \to \mathrm{max}(a, b)。
   4. soft-min会是什么样子？
   5. 将其扩展到两个以上的数字。

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