3.1 衰变定律与半衰期

3.1 衰变定律与半衰期：每站的停留时间

本节摘要：放射性衰变是全册所有时间计算的起点：单个原子核何时衰变不可预言，但大量核素的衰变速率严格正比于存量，由此导出指数定律与半衰期。本节完成指数定律的推导与三种时间的换算，复核镭-226 每克约一居里的历史定义，并用钡-137m 课堂数据完整走一遍半衰期测定流程——从取数、取对数到拟合斜率。

第 2 章的每条跳转规则现在都装上时钟。衰变定律简单到只有一句话，但它的推论贯穿测年、剂量、屏蔽与废物管理，值得把每一步推稳。

从"不知道哪个核"到"知道多少个"

观测单个原子核是赌局：衰变常数只给出单位时间的概率，谁先走谁后走全凭随机。可一旦手里有 10 的二十次方量级的原子（一克级的样品轻松达到），大数定律接管一切：单位时间衰变的数目正比于当时的存量。写成微分方程就是"活度等于衰变常数乘原子数"，解出指数形式：原子数与活度都随时间指数下降。这条定律与温度、压力、样品历史统统无关——镭-226 在熔炉里、在冰河期、在人体内，速率分毫不差，这是核钟表可信的根基。

三种时间语言换算如下：半衰期是存量走一半的时间，等于 0.693 除以衰变常数；平均寿命是每个原子生存期的期望，等于半衰期乘 1.443；衰变常数本身是"单位时间衰变概率"。链条计算中最常用衰变常数，工程交流中最常用半衰期，务必在落笔前统一。

# 演算 3.1-1：镭-226 每克活度——居里定义的复核
NA = 6.02214076e23
YEAR = 3.15576e7
LN2 = 0.693147
T_ra = 1600 * YEAR                  # 半衰期 1600 年
lam = LN2 / T_ra
N = 1.0 / 226 * NA                  # 一克镭-226 的原子数
A = N * lam
print(f"镭-226：λ = {lam:.4e} 每秒，N = {N:.4e}")
print(f"一克活度 A = {A:.3e} 贝可 ≈ {A / 3.7e10:.3f} 居里")
print(f"十年后活度比 = {pow(2.718281828, -lam * 10 * YEAR):.4f}")
# 输出：
# 镭-226：λ = 1.3728e-11 每秒，N = 2.6647e+21
# 一克活度 A = 3.658e+10 贝可 ≈ 0.989 居里
# 十年后活度比 = 0.9957
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0.989 居里与"1 居里"的历史定义差了百分之一——那是当年测镭原子量与半衰期的实验误差，后辈们保留了旧值作单位、另立贝可为标准。注意十年只衰减 0.43%：长寿命核素在实验室时间尺度上近乎恒定，这正是它适合当参考源的缘故；而半衰期短的核素十年里早已面目全非，"参考源"三个字轮不到它。

半对数直线：读出半衰期的标准动作

指数函数取对数变直线，这让半衰期测量变成一次线性拟合：测计数率随时间的走势，取自然对数，对时间作图，斜率的负值就是衰变常数。测量时本底要扣除，死时间要校正（4.1 与 4.4 节的话题），但方法骨架就这么朴素。课堂与培训最常用钡-137m：铯-137 母体源源不断喂入子体，把子体"挤"到洗脱瓶里即可得到一管干净的 661.7 keV 伽马源，半衰期两分半钟，一次课能测三轮。

图 3-1 半对数纸上的指数衰减与钡-137m 测定示意

混叠谱的拆分：两条指数叠加怎么办

样品里若同时有两个半衰期相差悬殊的核素，半对数图上不再是一条直线，而是一条先陡后缓的曲线。拆法是经典的"尾部反推"：曲线的平直尾段只剩长寿命成分，延长尾段直线回推；前段各点减去回推值，剩下的就是短寿命成分的直线。两次拟合，两个斜率，各自报出半衰期。这套"前后分账"的图解法在计算机普及前是手工活，如今一条拟合命令就能办，但读图的人仍要懂它的原理——拟合程序给出的两个分量，正确性最终还是靠"曲线减去尾段后前段变直"来检验。

实战案例：一次完整的半衰期测定

背景：教学实验，用洗脱得到的钡-137m 测半衰期，装置是通用计数器加薄窗探头。

操作：洗脱后立即开始计时计数，每 30 秒记一次，共 20 个点；随后测本底两分钟；数据先扣本底再取对数，对时间作最小二乘拟合。

结果：八轮实验的拟合值在 2.49 到 2.62 分钟之间，与手册值 2.552 分钟偏差最大 2.7%；偏差主因是洗脱后前两个计数点受母体不平衡影响。

解读：前几个点偏低或偏高的"怪脾气"恰恰是链条的痕迹——刚洗脱时子体在管里重新积累，与母体喂入速率竞争。链条思维在这里的价值是：知道数据头几个点为什么不可信，比机械删除更有底气。

变式练习：若把间隔拉长到 2 分钟、只取 6 个点，半衰期约 2.55 分钟的核素只覆盖两个半衰期，拟合误差翻倍；对半衰期一小时以上的核素，同样的总时长又太短。采样策略要按待测寿命定制——短寿命密采，长寿命长测，经验法则是总时长覆盖至少三个半衰期。

平均寿命与"单原子赌局"的边界

半衰期经常被误读成"每个原子都活这么久"。真实的个体寿命千差万别，平均寿命（半衰期的 1.44 倍）才是期望值，而且分布极度偏斜——大量原子早早退场，少数"钉子户"活得极久。顺推一个有趣的结论：半衰期是中位数，不是平均数；衰变定律只对大数成立，单个原子何时衰变原则上不可预言。这也是放射性衰变在密码学与随机数发生器里当"天然骰子"的原因——它的随机性来自物理，不是来自算法的伪随机。

三种时间语言的换算值得一笔账：铯-137 半衰期三十年，平均寿命约 43 年；锶-90 半衰期二十九年，平均寿命 41 年——两者"寿命档"几乎相同，也因此常在衰变热的账本上并肩出现。反过来，氧-15 半衰期两分钟，平均寿命不到三分钟，PET 检查用的超短核素必须"现做现打"，生产加速器与检查室之间只有一墙之隔——核素的时间常数直接决定了医院的空间布局。

# 演算 3.1-2：三种时间语言的换算练习
for name, T, unit in [("氧-15", 2.037, "分钟"), ("碘-131", 8.0252, "天"), ("铯-137", 30.05, "年")]:
    tau = T * 1.4427                       # 平均寿命 = 半衰期 / ln2
    print(f"{name}: 半衰期 {T} {unit} → 平均寿命 ≈ {tau:.2f} {unit}")
# 输出：
# 氧-15: 半衰期 2.037 分钟 → 平均寿命 ≈ 2.94 分钟
# 碘-131: 半衰期 8.0252 天 → 平均寿命 ≈ 11.58 天
# 铯-137: 半衰期 30.05 年 → 平均寿命 ≈ 43.35 年
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换算的意义不只是背一个系数：剂量评估与屏蔽设计的公式里出现的是平均寿命或衰变常数，工程交流里说的却是半衰期——两套语言混着用，单位错往往就错在换算这一步。

衰变定律只有一个，测年、排班、防护中的时间问题都是它的换装出场；把 3.1 的三个演算亲手跑一遍，后面三节的公式才不会悬空。