Adam算法

文档摘要

Adam算法 :label: 本章我们已经学习了许多有效优化的技术。在本节讨论之前，我们先详细回顾一下这些技术：在 :numref: 中，我们学习了：随机梯度下降在解决优化问题时比梯度下降更有效。在 :numref: 中，我们学习了：在一个小批量中使用更大的观测值集，可以通过向量化提供额外效率。这是高效的多机、多GPU和整体并行处理的关键。在 :numref: 中我们添加了一种机制，用于汇总过去梯度的历史以加速收敛。在 :numref: 中，我们通过对每个坐标缩放来实现高效计算的预处理器。在 :numref: 中，我们通过学习率的调整来分离每个坐标的缩放。 Adam算法 :cite: 将所有这些技术汇总到一个高效的学习算法中。

Adam算法

🏷sec_adam

本章我们已经学习了许多有效优化的技术。
在本节讨论之前，我们先详细回顾一下这些技术：

在 :numref:sec_sgd中，我们学习了：随机梯度下降在解决优化问题时比梯度下降更有效。
在 :numref:sec_minibatch_sgd中，我们学习了：在一个小批量中使用更大的观测值集，可以通过向量化提供额外效率。这是高效的多机、多GPU和整体并行处理的关键。
在 :numref:sec_momentum中我们添加了一种机制，用于汇总过去梯度的历史以加速收敛。
在 :numref:sec_adagrad中，我们通过对每个坐标缩放来实现高效计算的预处理器。
在 :numref:sec_rmsprop中，我们通过学习率的调整来分离每个坐标的缩放。

Adam算法 :cite:Kingma.Ba.2014将所有这些技术汇总到一个高效的学习算法中。
不出预料，作为深度学习中使用的更强大和有效的优化算法之一，它非常受欢迎。
但是它并非没有问题，尤其是 :cite:Reddi.Kale.Kumar.2019表明，有时Adam算法可能由于方差控制不良而发散。
在完善工作中， :cite:Zaheer.Reddi.Sachan.ea.2018给Adam算法提供了一个称为Yogi的热补丁来解决这些问题。
下面我们了解一下Adam算法。

算法

Adam算法的关键组成部分之一是：它使用指数加权移动平均值来估算梯度的动量和二次矩，即它使用状态变量

\begin{aligned} \mathbf{v}_t & \leftarrow \beta_1 \mathbf{v}_{t-1} + (1 - \beta_1) \mathbf{g}_t, \\ \mathbf{s}_t & \leftarrow \beta_2 \mathbf{s}_{t-1} + (1 - \beta_2) \mathbf{g}_t^2. \end{aligned}

这里\beta_1和\beta_2是非负加权参数。
常将它们设置为\beta_1 = 0.9和\beta_2 = 0.999。
也就是说，方差估计的移动远远慢于动量估计的移动。
注意，如果我们初始化\mathbf{v}_0 = \mathbf{s}_0 = 0，就会获得一个相当大的初始偏差。
我们可以通过使用\sum_{i=0}^t \beta^i = \frac{1 - \beta^t}{1 - \beta}来解决这个问题。
相应地，标准化状态变量由下式获得

\hat{\mathbf{v}}_t = \frac{\mathbf{v}_t}{1 - \beta_1^t} \text{ and } \hat{\mathbf{s}}_t = \frac{\mathbf{s}_t}{1 - \beta_2^t}.

有了正确的估计，我们现在可以写出更新方程。
首先，我们以非常类似于RMSProp算法的方式重新缩放梯度以获得

\mathbf{g}_t' = \frac{\eta \hat{\mathbf{v}}_t}{\sqrt{\hat{\mathbf{s}}_t} + \epsilon}.

与RMSProp不同，我们的更新使用动量\hat{\mathbf{v}}_t而不是梯度本身。
此外，由于使用\frac{1}{\sqrt{\hat{\mathbf{s}}_t} + \epsilon}而不是\frac{1}{\sqrt{\hat{\mathbf{s}}_t + \epsilon}}进行缩放，两者会略有差异。
前者在实践中效果略好一些，因此与RMSProp算法有所区分。
通常，我们选择\epsilon = 10^{-6}，这是为了在数值稳定性和逼真度之间取得良好的平衡。

最后，我们简单更新：

\mathbf{x}_t \leftarrow \mathbf{x}_{t-1} - \mathbf{g}_t'.

回顾Adam算法，它的设计灵感很清楚：
首先，动量和规模在状态变量中清晰可见，
它们相当独特的定义使我们移除偏项（这可以通过稍微不同的初始化和更新条件来修正）。
其次，RMSProp算法中两项的组合都非常简单。
最后，明确的学习率\eta使我们能够控制步长来解决收敛问题。

实现

从头开始实现Adam算法并不难。
为方便起见，我们将时间步t存储在hyperparams字典中。
除此之外，一切都很简单。


%matplotlib inline
from d2l import mxnet as d2l
from mxnet import np, npx
npx.set_np()

def init_adam_states(feature_dim):
    v_w, v_b = d2l.zeros((feature_dim, 1)), d2l.zeros(1)
    s_w, s_b = d2l.zeros((feature_dim, 1)), d2l.zeros(1)
    return ((v_w, s_w), (v_b, s_b))

def adam(params, states, hyperparams):
    beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-6
    for p, (v, s) in zip(params, states):
        v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad
        s[:] = beta2 * s + (1 - beta2) * np.square(p.grad)
        v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
        s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
        p[:] -= hyperparams['lr'] * v_bias_corr / (np.sqrt(s_bias_corr) + eps)
    hyperparams['t'] += 1


#@tab pytorch
%matplotlib inline
from d2l import torch as d2l
import torch

def init_adam_states(feature_dim):
    v_w, v_b = d2l.zeros((feature_dim, 1)), d2l.zeros(1)
    s_w, s_b = d2l.zeros((feature_dim, 1)), d2l.zeros(1)
    return ((v_w, s_w), (v_b, s_b))

def adam(params, states, hyperparams):
    beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-6
    for p, (v, s) in zip(params, states):
        with torch.no_grad():
            v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad
            s[:] = beta2 * s + (1 - beta2) * torch.square(p.grad)
            v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
            s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
            p[:] -= hyperparams['lr'] * v_bias_corr / (torch.sqrt(s_bias_corr)
                                                       + eps)
        p.grad.data.zero_()
    hyperparams['t'] += 1


#@tab tensorflow
%matplotlib inline
from d2l import tensorflow as d2l
import tensorflow as tf

def init_adam_states(feature_dim):
    v_w = tf.Variable(d2l.zeros((feature_dim, 1)))
    v_b = tf.Variable(d2l.zeros(1))
    s_w = tf.Variable(d2l.zeros((feature_dim, 1)))
    s_b = tf.Variable(d2l.zeros(1))
    return ((v_w, s_w), (v_b, s_b))

def adam(params, grads, states, hyperparams):
    beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-6
    for p, (v, s), grad in zip(params, states, grads):
        v[:].assign(beta1 * v  + (1 - beta1) * grad)
        s[:].assign(beta2 * s + (1 - beta2) * tf.math.square(grad))
        v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
        s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
        p[:].assign(p - hyperparams['lr'] * v_bias_corr
                    / tf.math.sqrt(s_bias_corr) + eps)


#@tab paddle
%matplotlib inline
from d2l import paddle as d2l
import warnings
warnings.filterwarnings("ignore")
import paddle

def init_adam_states(feature_dim):
    v_w, v_b = d2l.zeros((feature_dim, 1)), d2l.zeros((1, ))
    s_w, s_b = d2l.zeros((feature_dim, 1)), d2l.zeros((1, ))
    return ((v_w, s_w), (v_b, s_b))

def adam(params, states, hyperparams):
    beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-6
    a = []
    for p, (v, s) in zip(params, states):
        with paddle.no_grad():
            v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad
            s[:] = beta2 * s + (1 - beta2) * paddle.square(p.grad)
            v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
            s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
            p[:] -= hyperparams['lr'] * v_bias_corr / (paddle.sqrt(s_bias_corr)
                                                       + eps)
        p.grad.zero_()
        a.append(p)
    hyperparams['t'] += 1
    return a

现在，我们用以上Adam算法来训练模型，这里我们使用\eta = 0.01的学习率。


#@tab all
data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(adam, init_adam_states(feature_dim),
               {'lr': 0.01, 't': 1}, data_iter, feature_dim);

此外，我们可以用深度学习框架自带算法应用Adam算法，这里我们只需要传递配置参数。


d2l.train_concise_ch11('adam', {'learning_rate': 0.01}, data_iter)


#@tab pytorch
trainer = torch.optim.Adam
d2l.train_concise_ch11(trainer, {'lr': 0.01}, data_iter)


#@tab tensorflow
trainer = tf.keras.optimizers.Adam
d2l.train_concise_ch11(trainer, {'learning_rate': 0.01}, data_iter)


#@tab paddle
trainer = paddle.optimizer.Adam
d2l.train_concise_ch11(trainer, {'learning_rate': 0.01}, data_iter)

Yogi

Adam算法也存在一些问题：
即使在凸环境下，当\mathbf{s}_t的二次矩估计值爆炸时，它可能无法收敛。
:cite:Zaheer.Reddi.Sachan.ea.2018为\mathbf{s}_t提出了的改进更新和参数初始化。
论文中建议我们重写Adam算法更新如下：

\mathbf{s}_t \leftarrow \mathbf{s}_{t-1} + (1 - \beta_2) \left(\mathbf{g}_t^2 - \mathbf{s}_{t-1}\right).

每当\mathbf{g}_t^2具有值很大的变量或更新很稀疏时，\mathbf{s}_t可能会太快地“忘记”过去的值。
一个有效的解决方法是将\mathbf{g}_t^2 - \mathbf{s}_{t-1}替换为\mathbf{g}_t^2 \odot \mathop{\mathrm{sgn}}(\mathbf{g}_t^2 - \mathbf{s}_{t-1})。
这就是Yogi更新，现在更新的规模不再取决于偏差的量。

\mathbf{s}_t \leftarrow \mathbf{s}_{t-1} + (1 - \beta_2) \mathbf{g}_t^2 \odot \mathop{\mathrm{sgn}}(\mathbf{g}_t^2 - \mathbf{s}_{t-1}).

论文中，作者还进一步建议用更大的初始批量来初始化动量，而不仅仅是初始的逐点估计。


def yogi(params, states, hyperparams):
    beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-3
    for p, (v, s) in zip(params, states):
        v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad
        s[:] = s + (1 - beta2) * np.sign(
            np.square(p.grad) - s) * np.square(p.grad)
        v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
        s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
        p[:] -= hyperparams['lr'] * v_bias_corr / (np.sqrt(s_bias_corr) + eps)
    hyperparams['t'] += 1

data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(yogi, init_adam_states(feature_dim),
               {'lr': 0.01, 't': 1}, data_iter, feature_dim);


#@tab pytorch
def yogi(params, states, hyperparams):
    beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-3
    for p, (v, s) in zip(params, states):
        with torch.no_grad():
            v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad
            s[:] = s + (1 - beta2) * torch.sign(
                torch.square(p.grad) - s) * torch.square(p.grad)
            v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
            s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
            p[:] -= hyperparams['lr'] * v_bias_corr / (torch.sqrt(s_bias_corr)
                                                       + eps)
        p.grad.data.zero_()
    hyperparams['t'] += 1

data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(yogi, init_adam_states(feature_dim),
               {'lr': 0.01, 't': 1}, data_iter, feature_dim);


#@tab tensorflow
def yogi(params, grads, states, hyperparams):
    beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-6
    for p, (v, s), grad in zip(params, states, grads):
        v[:].assign(beta1 * v  + (1 - beta1) * grad)
        s[:].assign(s + (1 - beta2) * tf.math.sign(
                   tf.math.square(grad) - s) * tf.math.square(grad))
        v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
        s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
        p[:].assign(p - hyperparams['lr'] * v_bias_corr
                    / tf.math.sqrt(s_bias_corr) + eps)
    hyperparams['t'] += 1

data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(yogi, init_adam_states(feature_dim),
               {'lr': 0.01, 't': 1}, data_iter, feature_dim);


#@tab paddle
def yogi(params, states, hyperparams):
    beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-3
    a=[]
    for p, (v, s) in zip(params, states):
        with paddle.no_grad():
            v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad
            s[:] = s + (1 - beta2) * paddle.sign(
                paddle.square(p.grad) - s) * paddle.square(p.grad)
            v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
            s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
            p[:] -= hyperparams['lr'] * v_bias_corr / (paddle.sqrt(s_bias_corr)
                                                       + eps)
        p.grad.zero_()
        a.append(p)
    hyperparams['t'] += 1
    return a

data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(yogi, init_adam_states(feature_dim),
               {'lr': 0.01, 't': 1}, data_iter, feature_dim);

小结

Adam算法将许多优化算法的功能结合到了相当强大的更新规则中。
Adam算法在RMSProp算法基础上创建的，还在小批量的随机梯度上使用EWMA。
在估计动量和二次矩时，Adam算法使用偏差校正来调整缓慢的启动速度。
对于具有显著差异的梯度，我们可能会遇到收敛性问题。我们可以通过使用更大的小批量或者切换到改进的估计值\mathbf{s}_t来修正它们。Yogi提供了这样的替代方案。

练习

调节学习率，观察并分析实验结果。
试着重写动量和二次矩更新，从而使其不需要偏差校正。
收敛时为什么需要降低学习率\eta？
尝试构造一个使用Adam算法会发散而Yogi会收敛的例子。

:begin_tab:mxnet
Discussions
:end_tab:

:begin_tab:pytorch
Discussions
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:begin_tab:tensorflow
Discussions
:end_tab:

:begin_tab:paddle
Discussions
:end_tab: