学习率调度器
文档摘要
学习率调度器 :label: 到目前为止，我们主要关注如何更新权重向量的优化算法，而不是它们的更新速率。 然而，调整学习率通常与实际算法同样重要，有如下几方面需要考虑： 首先，学习率的大小很重要。如果它太大，优化就会发散；如果它太小，训练就会需要过长时间，或者我们最终只能得到次优的结果。我们之前看到问题的条件数很重要（有关详细信息，请参见 :numref: ）。直观地说，这是最不敏感与最敏感方向的变化量的比率。 其次，衰减速率同样很重要。如果学习率持续过高，我们可能最终会在最小值附近弹跳，从而无法达到最优解。 :numref: 比较详细地讨论了这一点，在 :numref: 中我们则分析了性能保证。
学习率调度器
🏷sec_scheduler
到目前为止，我们主要关注如何更新权重向量的优化算法，而不是它们的更新速率。
然而，调整学习率通常与实际算法同样重要，有如下几方面需要考虑：
- 首先，学习率的大小很重要。如果它太大，优化就会发散；如果它太小，训练就会需要过长时间，或者我们最终只能得到次优的结果。我们之前看到问题的条件数很重要（有关详细信息，请参见 :numref:
sec_momentum）。直观地说，这是最不敏感与最敏感方向的变化量的比率。 - 其次，衰减速率同样很重要。如果学习率持续过高，我们可能最终会在最小值附近弹跳，从而无法达到最优解。 :numref:
sec_minibatch_sgd比较详细地讨论了这一点，在 :numref:sec_sgd中我们则分析了性能保证。简而言之，我们希望速率衰减，但要比\mathcal{O}(t^{-\frac{1}{2}})慢，这样能成为解决凸问题的不错选择。 - 另一个同样重要的方面是初始化。这既涉及参数最初的设置方式（详情请参阅 :numref:
sec_numerical_stability），又关系到它们最初的演变方式。这被戏称为预热（warmup），即我们最初开始向着解决方案迈进的速度有多快。一开始的大步可能没有好处，特别是因为最初的参数集是随机的。最初的更新方向可能也是毫无意义的。 - 最后，还有许多优化变体可以执行周期性学习率调整。这超出了本章的范围，我们建议读者阅读 :cite:
Izmailov.Podoprikhin.Garipov.ea.2018来了解个中细节。例如，如何通过对整个路径参数求平均值来获得更好的解。
鉴于管理学习率需要很多细节，因此大多数深度学习框架都有自动应对这个问题的工具。
在本章中，我们将梳理不同的调度策略对准确性的影响，并展示如何通过学习率调度器（learning rate scheduler）来有效管理。
一个简单的问题
我们从一个简单的问题开始，这个问题可以轻松计算，但足以说明要义。
为此，我们选择了一个稍微现代化的LeNet版本（激活函数使用relu而不是sigmoid，汇聚层使用最大汇聚层而不是平均汇聚层），并应用于Fashion-MNIST数据集。
此外，我们混合网络以提高性能。
由于大多数代码都是标准的，我们只介绍基础知识，而不做进一步的详细讨论。如果需要，请参阅 :numref:chap_cnn进行复习。
%matplotlib inline from d2l import mxnet as d2l from mxnet import autograd, gluon, init, lr_scheduler, np, npx from mxnet.gluon import nn npx.set_np() net = nn.HybridSequential() net.add(nn.Conv2D(channels=6, kernel_size=5, padding=2, activation='relu'), nn.MaxPool2D(pool_size=2, strides=2), nn.Conv2D(channels=16, kernel_size=5, activation='relu'), nn.MaxPool2D(pool_size=2, strides=2), nn.Dense(120, activation='relu'), nn.Dense(84, activation='relu'), nn.Dense(10)) net.hybridize() loss = gluon.loss.SoftmaxCrossEntropyLoss() device = d2l.try_gpu() batch_size = 256 train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size=batch_size) # 代码几乎与d2l.train_ch6定义在卷积神经网络一章LeNet一节中的相同 def train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device): net.initialize(force_reinit=True, ctx=device, init=init.Xavier()) animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', xlim=[0, num_epochs], legend=['train loss', 'train acc', 'test acc']) for epoch in range(num_epochs): metric = d2l.Accumulator(3) # train_loss,train_acc,num_examples for i, (X, y) in enumerate(train_iter): X, y = X.as_in_ctx(device), y.as_in_ctx(device) with autograd.record(): y_hat = net(X) l = loss(y_hat, y) l.backward() trainer.step(X.shape[0]) metric.add(l.sum(), d2l.accuracy(y_hat, y), X.shape[0]) train_loss = metric[0] / metric[2] train_acc = metric[1] / metric[2] if (i + 1) % 50 == 0: animator.add(epoch + i / len(train_iter), (train_loss, train_acc, None)) test_acc = d2l.evaluate_accuracy_gpu(net, test_iter) animator.add(epoch + 1, (None, None, test_acc)) print(f'train loss {train_loss:.3f}, train acc {train_acc:.3f}, ' f'test acc {test_acc:.3f}')
#@tab pytorch %matplotlib inline from d2l import torch as d2l import math import torch from torch import nn from torch.optim import lr_scheduler def net_fn(): model = nn.Sequential( nn.Conv2d(1, 6, kernel_size=5, padding=2), nn.ReLU(), nn.MaxPool2d(kernel_size=2, stride=2), nn.Conv2d(6, 16, kernel_size=5), nn.ReLU(), nn.MaxPool2d(kernel_size=2, stride=2), nn.Flatten(), nn.Linear(16 * 5 * 5, 120), nn.ReLU(), nn.Linear(120, 84), nn.ReLU(), nn.Linear(84, 10)) return model loss = nn.CrossEntropyLoss() device = d2l.try_gpu() batch_size = 256 train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size=batch_size) # 代码几乎与d2l.train_ch6定义在卷积神经网络一章LeNet一节中的相同 def train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device, scheduler=None): net.to(device) animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', xlim=[0, num_epochs], legend=['train loss', 'train acc', 'test acc']) for epoch in range(num_epochs): metric = d2l.Accumulator(3) # train_loss,train_acc,num_examples for i, (X, y) in enumerate(train_iter): net.train() trainer.zero_grad() X, y = X.to(device), y.to(device) y_hat = net(X) l = loss(y_hat, y) l.backward() trainer.step() with torch.no_grad(): metric.add(l * X.shape[0], d2l.accuracy(y_hat, y), X.shape[0]) train_loss = metric[0] / metric[2] train_acc = metric[1] / metric[2] if (i + 1) % 50 == 0: animator.add(epoch + i / len(train_iter), (train_loss, train_acc, None)) test_acc = d2l.evaluate_accuracy_gpu(net, test_iter) animator.add(epoch+1, (None, None, test_acc)) if scheduler: if scheduler.__module__ == lr_scheduler.__name__: # UsingPyTorchIn-Builtscheduler scheduler.step() else: # Usingcustomdefinedscheduler for param_group in trainer.param_groups: param_group['lr'] = scheduler(epoch) print(f'train loss {train_loss:.3f}, train acc {train_acc:.3f}, ' f'test acc {test_acc:.3f}')
#@tab tensorflow %matplotlib inline from d2l import tensorflow as d2l import tensorflow as tf import math from tensorflow.keras.callbacks import LearningRateScheduler def net(): return tf.keras.models.Sequential([ tf.keras.layers.Conv2D(filters=6, kernel_size=5, activation='relu', padding='same'), tf.keras.layers.AvgPool2D(pool_size=2, strides=2), tf.keras.layers.Conv2D(filters=16, kernel_size=5, activation='relu'), tf.keras.layers.AvgPool2D(pool_size=2, strides=2), tf.keras.layers.Flatten(), tf.keras.layers.Dense(120, activation='relu'), tf.keras.layers.Dense(84, activation='sigmoid'), tf.keras.layers.Dense(10)]) batch_size = 256 train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size=batch_size) # 代码几乎与d2l.train_ch6定义在卷积神经网络一章LeNet一节中的相同 def train(net_fn, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, device=d2l.try_gpu(), custom_callback = False): device_name = device._device_name strategy = tf.distribute.OneDeviceStrategy(device_name) with strategy.scope(): optimizer = tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=lr) loss = tf.keras.losses.SparseCategoricalCrossentropy(from_logits=True) net = net_fn() net.compile(optimizer=optimizer, loss=loss, metrics=['accuracy']) callback = d2l.TrainCallback(net, train_iter, test_iter, num_epochs, device_name) if custom_callback is False: net.fit(train_iter, epochs=num_epochs, verbose=0, callbacks=[callback]) else: net.fit(train_iter, epochs=num_epochs, verbose=0, callbacks=[callback, custom_callback]) return net
#@tab paddle %matplotlib inline from d2l import paddle as d2l import warnings warnings.filterwarnings("ignore") import math import paddle from paddle import nn from paddle.optimizer import lr as lr_scheduler def net_fn(): model = nn.Sequential( nn.Conv2D(1, 6, kernel_size=5, padding=2), nn.ReLU(), nn.MaxPool2D(kernel_size=2, stride=2), nn.Conv2D(6, 16, kernel_size=5), nn.ReLU(), nn.MaxPool2D(kernel_size=2, stride=2), nn.Flatten(), nn.Linear(16 * 5 * 5, 120), nn.ReLU(), nn.Linear(120, 84), nn.ReLU(), nn.Linear(84, 10)) return model loss = nn.CrossEntropyLoss() device = d2l.try_gpu() batch_size = 256 train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size=batch_size) # 代码几乎与d2l.train_ch6定义在卷积神经网络一章LeNet一节中的相同 def train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device, scheduler=None): animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', xlim=[0, num_epochs], legend=['train loss', 'train acc', 'test acc']) for epoch in range(num_epochs): metric = d2l.Accumulator(3) # train_loss,train_acc,num_examples for i, (X, y) in enumerate(train_iter): net.train() trainer.clear_grad() y_hat = net(X) l = loss(y_hat, y) l.backward() trainer.step() with paddle.no_grad(): metric.add(l * X.shape[0], d2l.accuracy(y_hat,y), X.shape[0]) train_loss = metric[0] / metric[2] train_acc = metric[1] / metric[2] if (i + 1) % 50 == 0: animator.add(epoch + i / len(train_iter), (train_loss, train_acc, None)) test_acc = d2l.evaluate_accuracy_gpu(net, test_iter) animator.add(epoch+1, (None, None, test_acc)) if scheduler: if scheduler.__module__ == lr_scheduler.__name__: # UsingPaddleIn-Builtscheduler scheduler.step() else: # Usingcustomdefinedscheduler trainer.set_lr(scheduler(epoch)) print(f'train loss {train_loss:.3f}, train acc {train_acc:.3f}, 'f'test acc {test_acc:.3f}')
让我们来看看如果使用默认设置，调用此算法会发生什么。
例如设学习率为0.3并训练30次迭代。
留意在超过了某点、测试准确度方面的进展停滞时，训练准确度将如何继续提高。
两条曲线之间的间隙表示过拟合。
lr, num_epochs = 0.3, 30 net.initialize(force_reinit=True, ctx=device, init=init.Xavier()) trainer = gluon.Trainer(net.collect_params(), 'sgd', {'learning_rate': lr}) train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device)
#@tab pytorch lr, num_epochs = 0.3, 30 net = net_fn() trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=lr) train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device)
#@tab tensorflow lr, num_epochs = 0.3, 30 train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr)
#@tab paddle lr, num_epochs = 0.3, 30 net = net_fn() trainer = paddle.optimizer.SGD(learning_rate=lr, parameters=net.parameters()) train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device)
学习率调度器
我们可以在每个迭代轮数（甚至在每个小批量）之后向下调整学习率。
例如，以动态的方式来响应优化的进展情况。
trainer.set_learning_rate(0.1) print(f'learning rate is now {trainer.learning_rate:.2f}')
#@tab pytorch lr = 0.1 trainer.param_groups[0]["lr"] = lr print(f'learning rate is now {trainer.param_groups[0]["lr"]:.2f}')
#@tab tensorflow lr = 0.1 dummy_model = tf.keras.models.Sequential([tf.keras.layers.Dense(10)]) dummy_model.compile(tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=lr), loss='mse') print(f'learning rate is now ,', dummy_model.optimizer.lr.numpy())
#@tab paddle lr = 0.1 trainer.set_lr(lr) print(f'learning rate is now {trainer.get_lr():.2f}')
更通常而言，我们应该定义一个调度器。
当调用更新次数时，它将返回学习率的适当值。
让我们定义一个简单的方法，将学习率设置为\eta = \eta_0 (t + 1)^{-\frac{1}{2}}。
#@tab all class SquareRootScheduler: def __init__(self, lr=0.1): self.lr = lr def __call__(self, num_update): return self.lr * pow(num_update + 1.0, -0.5)
让我们在一系列值上绘制它的行为。
#@tab all scheduler = SquareRootScheduler(lr=0.1) d2l.plot(d2l.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])
现在让我们来看看这对在Fashion-MNIST数据集上的训练有何影响。
我们只是提供调度器作为训练算法的额外参数。
trainer = gluon.Trainer(net.collect_params(), 'sgd', {'lr_scheduler': scheduler}) train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device)
#@tab pytorch net = net_fn() trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr) train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device, scheduler)
#@tab tensorflow train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, custom_callback=LearningRateScheduler(scheduler))
#@tab paddle net = net_fn() trainer = paddle.optimizer.SGD(learning_rate=lr , parameters=net.parameters()) train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device, scheduler)
这比以前好一些：曲线比以前更加平滑，并且过拟合更小了。
遗憾的是，关于为什么在理论上某些策略会导致较轻的过拟合，有一些观点认为，较小的步长将导致参数更接近零，因此更简单。
但是，这并不能完全解释这种现象，因为我们并没有真正地提前停止，而只是轻柔地降低了学习率。
策略
虽然我们不可能涵盖所有类型的学习率调度器，但我们会尝试在下面简要概述常用的策略：多项式衰减和分段常数表。
此外，余弦学习率调度在实践中的一些问题上运行效果很好。
在某些问题上，最好在使用较高的学习率之前预热优化器。
单因子调度器
多项式衰减的一种替代方案是乘法衰减，即\eta_{t+1} \leftarrow \eta_t \cdot \alpha其中\alpha \in (0, 1)。
为了防止学习率衰减到一个合理的下界之下，
更新方程经常修改为\eta_{t+1} \leftarrow \mathop{\mathrm{max}}(\eta_{\mathrm{min}}, \eta_t \cdot \alpha)。
#@tab all class FactorScheduler: def __init__(self, factor=1, stop_factor_lr=1e-7, base_lr=0.1): self.factor = factor self.stop_factor_lr = stop_factor_lr self.base_lr = base_lr def __call__(self, num_update): self.base_lr = max(self.stop_factor_lr, self.base_lr * self.factor) return self.base_lr scheduler = FactorScheduler(factor=0.9, stop_factor_lr=1e-2, base_lr=2.0) d2l.plot(d2l.arange(50), [scheduler(t) for t in range(50)])
接下来，我们将使用内置的调度器，但在这里仅解释它们的功能。
多因子调度器
训练深度网络的常见策略之一是保持学习率为一组分段的常量，并且不时地按给定的参数对学习率做乘法衰减。
具体地说，给定一组降低学习率的时间点，例如s = \{5, 10, 20\}，
每当t \in s时，降低\eta_{t+1} \leftarrow \eta_t \cdot \alpha。
假设每步中的值减半，我们可以按如下方式实现这一点。
scheduler = lr_scheduler.MultiFactorScheduler(step=[15, 30], factor=0.5, base_lr=0.5) d2l.plot(d2l.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])
#@tab pytorch net = net_fn() trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.5) scheduler = lr_scheduler.MultiStepLR(trainer, milestones=[15, 30], gamma=0.5) def get_lr(trainer, scheduler): lr = scheduler.get_last_lr()[0] trainer.step() scheduler.step() return lr d2l.plot(d2l.arange(num_epochs), [get_lr(trainer, scheduler) for t in range(num_epochs)])
#@tab tensorflow class MultiFactorScheduler: def __init__(self, step, factor, base_lr): self.step = step self.factor = factor self.base_lr = base_lr def __call__(self, epoch): if epoch in self.step: self.base_lr = self.base_lr * self.factor return self.base_lr else: return self.base_lr scheduler = MultiFactorScheduler(step=[15, 30], factor=0.5, base_lr=0.5) d2l.plot(d2l.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])
#@tab paddle net = net_fn() scheduler =paddle.optimizer.lr.MultiStepDecay(learning_rate=0.5, milestones=[15,30], gamma=0.5) trainer = paddle.optimizer.SGD(learning_rate=scheduler, parameters=net.parameters()) def get_lr(trainer, scheduler): lr=trainer.state_dict()['LR_Scheduler']['last_lr'] trainer.step() scheduler.step() return lr d2l.plot(paddle.arange(num_epochs), [get_lr(trainer, scheduler) for t in range(num_epochs)])
这种分段恒定学习率调度背后的直觉是，让优化持续进行，直到权重向量的分布达到一个驻点。
此时，我们才将学习率降低，以获得更高质量的代理来达到一个良好的局部最小值。
下面的例子展示了如何使用这种方法产生更好的解决方案。
trainer = gluon.Trainer(net.collect_params(), 'sgd', {'lr_scheduler': scheduler}) train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device)
#@tab pytorch train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device, scheduler)
#@tab tensorflow train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, custom_callback=LearningRateScheduler(scheduler))
#@tab paddle train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device, scheduler)
余弦调度器
余弦调度器是 :cite:Loshchilov.Hutter.2016提出的一种启发式算法。
它所依据的观点是：我们可能不想在一开始就太大地降低学习率，而且可能希望最终能用非常小的学习率来“改进”解决方案。
这产生了一个类似于余弦的调度，函数形式如下所示，学习率的值在t \in [0, T]之间。
\eta_t = \eta_T + \frac{\eta_0 - \eta_T}{2} \left(1 + \cos(\pi t/T)\right)
这里\eta_0是初始学习率，\eta_T是当T时的目标学习率。
此外，对于t > T，我们只需将值固定到\eta_T而不再增加它。
在下面的示例中，我们设置了最大更新步数T = 20。
scheduler = lr_scheduler.CosineScheduler(max_update=20, base_lr=0.3, final_lr=0.01) d2l.plot(d2l.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])
#@tab pytorch, tensorflow, paddle class CosineScheduler: def __init__(self, max_update, base_lr=0.01, final_lr=0, warmup_steps=0, warmup_begin_lr=0): self.base_lr_orig = base_lr self.max_update = max_update self.final_lr = final_lr self.warmup_steps = warmup_steps self.warmup_begin_lr = warmup_begin_lr self.max_steps = self.max_update - self.warmup_steps def get_warmup_lr(self, epoch): increase = (self.base_lr_orig - self.warmup_begin_lr) \ * float(epoch) / float(self.warmup_steps) return self.warmup_begin_lr + increase def __call__(self, epoch): if epoch < self.warmup_steps: return self.get_warmup_lr(epoch) if epoch <= self.max_update: self.base_lr = self.final_lr + ( self.base_lr_orig - self.final_lr) * (1 + math.cos( math.pi * (epoch - self.warmup_steps) / self.max_steps)) / 2 return self.base_lr scheduler = CosineScheduler(max_update=20, base_lr=0.3, final_lr=0.01) d2l.plot(d2l.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])
在计算机视觉的背景下，这个调度方式可能产生改进的结果。
但请注意，如下所示，这种改进并不一定成立。
trainer = gluon.Trainer(net.collect_params(), 'sgd', {'lr_scheduler': scheduler}) train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device)
#@tab pytorch net = net_fn() trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.3) train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device, scheduler)
#@tab tensorflow train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, custom_callback=LearningRateScheduler(scheduler))
#@tab paddle net = net_fn() trainer = paddle.optimizer.SGD(learning_rate=0.3, parameters=net.parameters()) train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device, scheduler)
预热
在某些情况下，初始化参数不足以得到良好的解。
这对某些高级网络设计来说尤其棘手，可能导致不稳定的优化结果。
对此，一方面，我们可以选择一个足够小的学习率，
从而防止一开始发散，然而这样进展太缓慢。
另一方面，较高的学习率最初就会导致发散。
解决这种困境的一个相当简单的解决方法是使用预热期，在此期间学习率将增加至初始最大值，然后冷却直到优化过程结束。
为了简单起见，通常使用线性递增。
这引出了如下表所示的时间表。
scheduler = lr_scheduler.CosineScheduler(20, warmup_steps=5, base_lr=0.3, final_lr=0.01) d2l.plot(np.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])
#@tab pytorch, tensorflow, paddle scheduler = CosineScheduler(20, warmup_steps=5, base_lr=0.3, final_lr=0.01) d2l.plot(d2l.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])
注意，观察前5个迭代轮数的性能，网络最初收敛得更好。
trainer = gluon.Trainer(net.collect_params(), 'sgd', {'lr_scheduler': scheduler}) train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device)
#@tab pytorch net = net_fn() trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.3) train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device, scheduler)
#@tab tensorflow train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, custom_callback=LearningRateScheduler(scheduler))
#@tab paddle net = net_fn() trainer = paddle.optimizer.SGD(learning_rate=0.3, parameters=net.parameters()) train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device, scheduler)
预热可以应用于任何调度器，而不仅仅是余弦。
有关学习率调度的更多实验和更详细讨论，请参阅 :cite:Gotmare.Keskar.Xiong.ea.2018。
其中，这篇论文的点睛之笔的发现：预热阶段限制了非常深的网络中参数的发散程度 。
这在直觉上是有道理的：在网络中那些一开始花费最多时间取得进展的部分，随机初始化会产生巨大的发散。
小结
- 在训练期间逐步降低学习率可以提高准确性，并且减少模型的过拟合。
- 在实验中，每当进展趋于稳定时就降低学习率，这是很有效的。从本质上说，这可以确保我们有效地收敛到一个适当的解，也只有这样才能通过降低学习率来减小参数的固有方差。
- 余弦调度器在某些计算机视觉问题中很受欢迎。
- 优化之前的预热期可以防止发散。
- 优化在深度学习中有多种用途。对于同样的训练误差而言，选择不同的优化算法和学习率调度，除了最大限度地减少训练时间，可以导致测试集上不同的泛化和过拟合量。
练习
- 试验给定固定学习率的优化行为。这种情况下可以获得的最佳模型是什么？
- 如果改变学习率下降的指数，收敛性会如何改变？在实验中方便起见，使用
PolyScheduler。 - 将余弦调度器应用于大型计算机视觉问题，例如训练ImageNet数据集。与其他调度器相比，它如何影响性能？
- 预热应该持续多长时间？
- 可以试着把优化和采样联系起来吗？首先，在随机梯度朗之万动力学上使用 :cite:
Welling.Teh.2011的结果。
:begin_tab:mxnet
Discussions
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:begin_tab:paddle
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