梯度下降

梯度下降

🏷sec_gd

尽管梯度下降（gradient descent）很少直接用于深度学习，
但了解它是理解下一节随机梯度下降算法的关键。
例如，由于学习率过大，优化问题可能会发散，这种现象早已在梯度下降中出现。
同样地，预处理（preconditioning）是梯度下降中的一种常用技术，
还被沿用到更高级的算法中。
让我们从简单的一维梯度下降开始。

一维梯度下降

为什么梯度下降算法可以优化目标函数？
一维中的梯度下降给我们很好的启发。
考虑一类连续可微实值函数f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}，
利用泰勒展开，我们可以得到

:eqlabel:gd-taylor

即在一阶近似中，f(x+\epsilon)可通过x处的函数值f(x)和一阶导数f'(x)得出。
我们可以假设在负梯度方向上移动的\epsilon会减少f。
为了简单起见，我们选择固定步长\eta > 0，然后取\epsilon = -\eta f'(x)。
将其代入泰勒展开式我们可以得到

:eqlabel:gd-taylor-2

如果其导数f'(x) \neq 0没有消失，我们就能继续展开，这是因为\eta f'^2(x)>0。
此外，我们总是可以令\eta小到足以使高阶项变得不相关。
因此，

这意味着，如果我们使用

来迭代x，函数f(x)的值可能会下降。
因此，在梯度下降中，我们首先选择初始值x和常数\eta > 0，
然后使用它们连续迭代x，直到停止条件达成。
例如，当梯度|f'(x)|的幅度足够小或迭代次数达到某个值时。

下面我们来展示如何实现梯度下降。为了简单起见，我们选用目标函数f(x)=x^2。
尽管我们知道x=0时f(x)能取得最小值，
但我们仍然使用这个简单的函数来观察x的变化。

%matplotlib inline
from d2l import mxnet as d2l
from mxnet import np, npx
npx.set_np()
​

#@tab pytorch
%matplotlib inline
from d2l import torch as d2l
import numpy as np
import torch
​

#@tab tensorflow
%matplotlib inline
from d2l import tensorflow as d2l
import numpy as np
import tensorflow as tf
​

#@tab paddle
%matplotlib inline
from d2l import paddle as d2l
import warnings
warnings.filterwarnings("ignore")
import numpy as np
import paddle
​

#@tab all
def f(x):  # 目标函数
    return x ** 2

def f_grad(x):  # 目标函数的梯度(导数)
    return 2 * x
​

接下来，我们使用x=10作为初始值，并假设\eta=0.2。
使用梯度下降法迭代x共10次，我们可以看到，x的值最终将接近最优解。

#@tab mxnet, pytorch, tensorflow
def gd(eta, f_grad):
    x = 10.0
    results = [x]
    for i in range(10):
        x -= eta * f_grad(x)
        results.append(float(x))
    print(f'epoch 10, x: {x:f}')
    return results

results = gd(0.2, f_grad)
​

#@tab paddle
def gd(eta, f_grad):
    x = 10.0
    results = [x]
    for i in range(10):
        x -= eta * f_grad(x)
        results.append(float(x))
    print(f'epoch 10, x: {float(x):f}')
    return results

results = gd(0.2, f_grad)
​

对进行x优化的过程可以绘制如下。

#@tab mxnet, pytorch, tensorflow
def show_trace(results, f):
    n = max(abs(min(results)), abs(max(results)))
    f_line = d2l.arange(-n, n, 0.01)
    d2l.set_figsize()
    d2l.plot([f_line, results], [[f(x) for x in f_line], [
        f(x) for x in results]], 'x', 'f(x)', fmts=['-', '-o'])

show_trace(results, f)
​

#@tab paddle
def show_trace(results, f):
    n = max(abs(min(results)), abs(max(results)))
    f_line = d2l.arange(-n, n, 0.01, dtype='float32')
    d2l.set_figsize()
    d2l.plot([f_line, results], [[f(x) for x in f_line], [
        f(x) for x in results]], 'x', 'f(x)', fmts=['-', '-o'])

show_trace(results, f)
​

学习率

🏷subsec_gd-learningrate

学习率（learning rate）决定目标函数能否收敛到局部最小值，以及何时收敛到最小值。
学习率\eta可由算法设计者设置。
请注意，如果我们使用的学习率太小，将导致x的更新非常缓慢，需要更多的迭代。
例如，考虑同一优化问题中\eta = 0.05的进度。
如下所示，尽管经过了10个步骤，我们仍然离最优解很远。

#@tab all
show_trace(gd(0.05, f_grad), f)
​

相反，如果我们使用过高的学习率，\left|\eta f'(x)\right|对于一阶泰勒展开式可能太大。
也就是说， :eqref:gd-taylor中的\mathcal{O}(\eta^2 f'^2(x))可能变得显著了。
在这种情况下，x的迭代不能保证降低f(x)的值。
例如，当学习率为\eta=1.1时，x超出了最优解x=0并逐渐发散。

#@tab all
show_trace(gd(1.1, f_grad), f)
​

局部最小值

为了演示非凸函数的梯度下降，考虑函数f(x) = x \cdot \cos(cx)，其中c为某常数。
这个函数有无穷多个局部最小值。
根据我们选择的学习率，我们最终可能只会得到许多解的一个。
下面的例子说明了（不切实际的）高学习率如何导致较差的局部最小值。

#@tab all
c = d2l.tensor(0.15 * np.pi)

def f(x):  # 目标函数
    return x * d2l.cos(c * x)

def f_grad(x):  # 目标函数的梯度
    return d2l.cos(c * x) - c * x * d2l.sin(c * x)

show_trace(gd(2, f_grad), f)
​

多元梯度下降

现在我们对单变量的情况有了更好的理解，让我们考虑一下\mathbf{x} = [x_1, x_2, \ldots, x_d]^\top的情况。
即目标函数f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}将向量映射成标量。
相应地，它的梯度也是多元的，它是一个由d个偏导数组成的向量：

梯度中的每个偏导数元素\partial f(\mathbf{x})/\partial x_i代表了当输入x_i时f在\mathbf{x}处的变化率。
和先前单变量的情况一样，我们可以对多变量函数使用相应的泰勒近似来思考。
具体来说，

:eqlabel:gd-multi-taylor

换句话说，在\boldsymbol{\epsilon}的二阶项中，
最陡下降的方向由负梯度-\nabla f(\mathbf{x})得出。
选择合适的学习率\eta > 0来生成典型的梯度下降算法：

这个算法在实践中的表现如何呢？
我们构造一个目标函数f(\mathbf{x})=x_1^2+2x_2^2，
并有二维向量\mathbf{x} = [x_1, x_2]^\top作为输入，
标量作为输出。
梯度由\nabla f(\mathbf{x}) = [2x_1, 4x_2]^\top给出。
我们将从初始位置[-5, -2]通过梯度下降观察\mathbf{x}的轨迹。

我们还需要两个辅助函数：
第一个是update函数，并将其应用于初始值20次；
第二个函数会显示\mathbf{x}的轨迹。

#@tab mxnet, pytorch, tensorflow
def train_2d(trainer, steps=20, f_grad=None):  #@save
    """用定制的训练机优化2D目标函数"""
    # s1和s2是稍后将使用的内部状态变量
    x1, x2, s1, s2 = -5, -2, 0, 0
    results = [(x1, x2)]
    for i in range(steps):
        if f_grad:
            x1, x2, s1, s2 = trainer(x1, x2, s1, s2, f_grad)
        else:
            x1, x2, s1, s2 = trainer(x1, x2, s1, s2)
        results.append((x1, x2))
    print(f'epoch {i + 1}, x1: {float(x1):f}, x2: {float(x2):f}')
    return results

def show_trace_2d(f, results):  #@save
    """显示优化过程中2D变量的轨迹"""
    d2l.set_figsize()
    d2l.plt.plot(*zip(*results), '-o', color='#ff7f0e')
    x1, x2 = d2l.meshgrid(d2l.arange(-5.5, 1.0, 0.1),
                          d2l.arange(-3.0, 1.0, 0.1))
    d2l.plt.contour(x1, x2, f(x1, x2), colors='#1f77b4')
    d2l.plt.xlabel('x1')
    d2l.plt.ylabel('x2')
​

#@tab paddle
def train_2d(trainer, steps=20, f_grad=None):  #@save
    """用定制的训练机优化2D目标函数"""
    # s1和s2是稍后将使用的内部状态变量
    x1, x2, s1, s2 = -5, -2, 0, 0
    results = [(x1, x2)]
    for i in range(steps):
        if f_grad:
            x1, x2, s1, s2 = trainer(x1, x2, s1, s2, f_grad)
        else:
            x1, x2, s1, s2 = trainer(x1, x2, s1, s2)
        results.append((x1, x2))
    print(f'epoch {i + 1}, x1: {float(x1):f}, x2: {float(x2):f}')
    return results

def show_trace_2d(f, results):  #@save
    """显示优化过程中2D变量的轨迹"""
    d2l.set_figsize()
    d2l.plt.plot(*zip(*results), '-o', color='#ff7f0e')
    x1, x2 = d2l.meshgrid(d2l.arange(-5.5, 1.0, 0.1, dtype='float32'),
                          d2l.arange(-3.0, 1.0, 0.1, dtype='float32'))
    d2l.plt.contour(x1, x2, f(x1, x2), colors='#1f77b4')
    d2l.plt.xlabel('x1')
    d2l.plt.ylabel('x2')
​

接下来，我们观察学习率\eta = 0.1时优化变量\mathbf{x}的轨迹。
可以看到，经过20步之后，\mathbf{x}的值接近其位于[0, 0]的最小值。
虽然进展相当顺利，但相当缓慢。

#@tab all
def f_2d(x1, x2):  # 目标函数
    return x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2

def f_2d_grad(x1, x2):  # 目标函数的梯度
    return (2 * x1, 4 * x2)

def gd_2d(x1, x2, s1, s2, f_grad):
    g1, g2 = f_grad(x1, x2)
    return (x1 - eta * g1, x2 - eta * g2, 0, 0)

eta = 0.1
show_trace_2d(f_2d, train_2d(gd_2d, f_grad=f_2d_grad))
​

自适应方法

正如我们在 :numref:subsec_gd-learningrate中所看到的，选择“恰到好处”的学习率\eta是很棘手的。
如果我们把它选得太小，就没有什么进展；如果太大，得到的解就会振荡，甚至可能发散。
如果我们可以自动确定\eta，或者完全不必选择学习率，会怎么样？
除了考虑目标函数的值和梯度、还考虑它的曲率的二阶方法可以帮我们解决这个问题。
虽然由于计算代价的原因，这些方法不能直接应用于深度学习，但它们为如何设计高级优化算法提供了有用的思维直觉，这些算法可以模拟下面概述的算法的许多理想特性。

牛顿法

回顾一些函数f: \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}的泰勒展开式，事实上我们可以把它写成

:eqlabel:gd-hot-taylor

为了避免繁琐的符号，我们将\mathbf{H} \stackrel{\mathrm{def}}{=} \nabla^2 f(\mathbf{x})定义为f的Hessian，是d \times d矩阵。
当d的值很小且问题很简单时，\mathbf{H}很容易计算。
但是对于深度神经网络而言，考虑到\mathbf{H}可能非常大，
\mathcal{O}(d^2)个条目的存储代价会很高，
此外通过反向传播进行计算可能雪上加霜。
然而，我们姑且先忽略这些考量，看看会得到什么算法。

毕竟，f的最小值满足\nabla f = 0。
遵循 :numref:sec_calculus中的微积分规则，
通过取\boldsymbol{\epsilon}对 :eqref:gd-hot-taylor的导数，
再忽略不重要的高阶项，我们便得到

也就是说，作为优化问题的一部分，我们需要将Hessian矩阵\mathbf{H}求逆。

举一个简单的例子，对于f(x) = \frac{1}{2} x^2，我们有\nabla f(x) = x和\mathbf{H} = 1。
因此，对于任何x，我们可以获得\epsilon = -x。
换言之，单单一步就足以完美地收敛，而无须任何调整。
我们在这里比较幸运：泰勒展开式是确切的，因为f(x+\epsilon)= \frac{1}{2} x^2 + \epsilon x + \frac{1}{2} \epsilon^2。

让我们看看其他问题。
给定一个凸双曲余弦函数c，其中c为某些常数，
我们可以看到经过几次迭代后，得到了x=0处的全局最小值。

#@tab all
c = d2l.tensor(0.5)

def f(x):  # O目标函数
    return d2l.cosh(c * x)

def f_grad(x):  # 目标函数的梯度
    return c * d2l.sinh(c * x)

def f_hess(x):  # 目标函数的Hessian
    return c**2 * d2l.cosh(c * x)

def newton(eta=1):
    x = 10.0
    results = [x]
    for i in range(10):
        x -= eta * f_grad(x) / f_hess(x)
        results.append(float(x))
    print('epoch 10, x:', x)
    return results

show_trace(newton(), f)
​

现在让我们考虑一个非凸函数，比如f(x) = x \cos(c x)，c为某些常数。
请注意在牛顿法中，我们最终将除以Hessian。
这意味着如果二阶导数是负的，f的值可能会趋于增加。
这是这个算法的致命缺陷！
让我们看看实践中会发生什么。

#@tab all
c = d2l.tensor(0.15 * np.pi)

def f(x):  # 目标函数
    return x * d2l.cos(c * x)

def f_grad(x):  # 目标函数的梯度
    return d2l.cos(c * x) - c * x * d2l.sin(c * x)

def f_hess(x):  # 目标函数的Hessian
    return - 2 * c * d2l.sin(c * x) - x * c**2 * d2l.cos(c * x)

show_trace(newton(), f)
​

这发生了惊人的错误。我们怎样才能修正它？
一种方法是用取Hessian的绝对值来修正，另一个策略是重新引入学习率。
这似乎违背了初衷，但不完全是——拥有二阶信息可以使我们在曲率较大时保持谨慎，而在目标函数较平坦时则采用较大的学习率。
让我们看看在学习率稍小的情况下它是如何生效的，比如\eta = 0.5。
如我们所见，我们有了一个相当高效的算法。

#@tab all
show_trace(newton(0.5), f)
​

收敛性分析

在此，我们以部分目标凸函数f为例，分析它们的牛顿法收敛速度。
这些目标凸函数三次可微，而且二阶导数不为零，即f'' > 0。
由于多变量情况下的证明是对以下一维参数情况证明的直接拓展，对我们理解这个问题不能提供更多帮助，因此我们省略了多变量情况的证明。

用x^{(k)}表示x在第k^\mathrm{th}次迭代时的值，
令e^{(k)} \stackrel{\mathrm{def}}{=} x^{(k)} - x^*表示k^\mathrm{th}迭代时与最优性的距离。
通过泰勒展开，我们得到条件f'(x^*) = 0可以写成

这对某些\xi^{(k)} \in [x^{(k)} - e^{(k)}, x^{(k)}]成立。
将上述展开除以f''(x^{(k)})得到

回想之前的方程x^{(k+1)} = x^{(k)} - f'(x^{(k)}) / f''(x^{(k)})。
代入这个更新方程，取两边的绝对值，我们得到

因此，每当我们处于有界区域\left|f'''(\xi^{(k)})\right| / (2f''(x^{(k)})) \leq c，
我们就有一个二次递减误差

另一方面，优化研究人员称之为“线性”收敛，而将\left|e^{(k+1)}\right| \leq \alpha \left|e^{(k)}\right|这样的条件称为“恒定”收敛速度。
请注意，我们无法估计整体收敛的速度，但是一旦我们接近极小值，收敛将变得非常快。
另外，这种分析要求f在高阶导数上表现良好，即确保f在如何变化它的值方面没有任何“超常”的特性。

预处理

计算和存储完整的Hessian非常昂贵，而改善这个问题的一种方法是“预处理”。
它回避了计算整个Hessian，而只计算“对角线”项，即如下的算法更新：

虽然这不如完整的牛顿法精确，但它仍然比不使用要好得多。
为什么预处理有效呢？
假设一个变量以毫米表示高度，另一个变量以公里表示高度的情况。
假设这两种自然尺度都以米为单位，那么我们的参数化就出现了严重的不匹配。
幸运的是，使用预处理可以消除这种情况。
梯度下降的有效预处理相当于为每个变量选择不同的学习率（矢量\mathbf{x}的坐标）。
我们将在后面一节看到，预处理推动了随机梯度下降优化算法的一些创新。

梯度下降和线搜索

梯度下降的一个关键问题是我们可能会超过目标或进展不足，
解决这一问题的简单方法是结合使用线搜索和梯度下降。
也就是说，我们使用\nabla f(\mathbf{x})给出的方向，
然后进行二分搜索，以确定哪个学习率\eta使f(\mathbf{x} - \eta \nabla f(\mathbf{x}))取最小值。

有关分析和证明，此算法收敛迅速（请参见 :cite:Boyd.Vandenberghe.2004）。
然而，对深度学习而言，这不太可行。
因为线搜索的每一步都需要评估整个数据集上的目标函数，实现它的方式太昂贵了。

小结

• 学习率的大小很重要：学习率太大会使模型发散，学习率太小会没有进展。
• 梯度下降会可能陷入局部极小值，而得不到全局最小值。
• 在高维模型中，调整学习率是很复杂的。
• 预处理有助于调节比例。
• 牛顿法在凸问题中一旦开始正常工作，速度就会快得多。
• 对于非凸问题，不要不作任何调整就使用牛顿法。

练习

1. 用不同的学习率和目标函数进行梯度下降实验。
2. 在区间[a, b]中实现线搜索以最小化凸函数。
   1. 是否需要导数来进行二分搜索，即决定选择[a, (a+b)/2]还是[(a+b)/2, b]。
   2. 算法的收敛速度有多快？
   3. 实现该算法，并将其应用于求\log (\exp(x) + \exp(-2x -3))的最小值。
3. 设计一个定义在\mathbb{R}^2上的目标函数，它的梯度下降非常缓慢。提示：不同坐标的缩放方式不同。
4. 使用预处理实现牛顿方法的轻量版本。
   1. 使用对角Hessian作为预条件子。
   2. 使用它的绝对值，而不是实际值（可能有符号）。
   3. 将此应用于上述问题。
5. 将上述算法应用于多个目标函数（凸或非凸）。如果把坐标旋转45度会怎么样？

:begin_tab:mxnet
Discussions
:end_tab:

:begin_tab:pytorch
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:begin_tab:tensorflow
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:begin_tab:paddle
Discussions
:end_tab: