统计学与数学基础

统计学与数学基础

# 两组表达量的 t 检验与 FDR 校正示意
import math

def t_test(g1, g2):
    mean1, mean2 = sum(g1) / len(g1), sum(g2) / len(g2)
    var1 = sum((x - mean1) ** 2 for x in g1) / (len(g1) - 1)
    var2 = sum((x - mean2) ** 2 for x in g2) / (len(g2) - 1)
    se = math.sqrt(var1 / len(g1) + var2 / len(g2))
    return (mean1 - mean2) / se

def bh_fdr(pvals):
    ranked = sorted(enumerate(pvals), key=lambda x: x[1])
    n = len(pvals)
    qvals = [0.0] * n
    prev = 0.0
    for i, (idx, p) in enumerate(ranked):
        q = p * n / (i + 1)
        prev = max(prev, min(q, 1.0))
        qvals[idx] = prev
    return qvals

g1 = [12.1, 11.8, 12.4, 11.9]
g2 = [15.2, 14.8, 15.5, 14.6]
print("t 统计量:", round(t_test(g1, g2), 3))
print("FDR:", [round(q, 3) for q in bh_fdr([0.01, 0.04, 0.06, 0.20])])
​

掌握这些统计与数学工具后，读者应能读懂差异分析、关联分析中的关键指标（p 值、效应量、置信区间），理解为什么大规模检验必须校正，并能为自己的分析选择合适的检验方法。统计思维是把"看起来有差异"提升为"统计上可信"的核心能力，也是第 3 章各类算法的基础。

生物统计常用方法与模型

生物数据普遍带有噪声：测序错误、生物个体差异、批次效应都会污染信号。统计学为区分"真实效应"与"随机波动"提供了标准流程。首先是描述统计，用均值、中位数、方差等刻画数据的集中趋势与离散程度；其次是推断统计，通过假设检验（如 t 检验、卡方检验）判断观察到的差异是否显著。基因组规模的分析动辄检验数万个基因，必须进行多重检验校正，常用的有 Bonferroni 校正与 Benjamini-Hochberg 控制的错误发现率（FDR），后者平衡了假阳性与检测力，是差异表达分析的事实标准。

概率论方面，二项分布、泊松分布常用于描述测序 reads 的计数；负二项分布能够同时刻画均值和过度离散，是 RNA-seq 差异表达建模的基础。线性代数支撑了主成分分析、奇异值分解等降维方法，这些方法在单细胞、群体遗传学中广泛用于揭示数据结构。机器学习部分则依赖最优化理论，梯度下降、正则化等概念贯穿始终。数学工具在生物信息学中不是抽象符号，而是可运行的估计与检验流程。

# 两组表达量的 t 检验与 FDR 校正示意
import math

def t_test(g1, g2):
    mean1, mean2 = sum(g1) / len(g1), sum(g2) / len(g2)
    var1 = sum((x - mean1) ** 2 for x in g1) / (len(g1) - 1)
    var2 = sum((x - mean2) ** 2 for x in g2) / (len(g2) - 1)
    se = math.sqrt(var1 / len(g1) + var2 / len(g2))
    return (mean1 - mean2) / se

def bh_fdr(pvals):
    ranked = sorted(enumerate(pvals), key=lambda x: x[1])
    n = len(pvals)
    qvals = [0.0] * n
    prev = 0.0
    for i, (idx, p) in enumerate(ranked):
        q = p * n / (i + 1)
        prev = max(prev, min(q, 1.0))
        qvals[idx] = prev
    return qvals

g1 = [12.1, 11.8, 12.4, 11.9]
g2 = [15.2, 14.8, 15.5, 14.6]
print("t 统计量:", round(t_test(g1, g2), 3))
print("FDR:", [round(q, 3) for q in bh_fdr([0.01, 0.04, 0.06, 0.20])])
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生物信息学的"统计内核"：假设检验、多重检验与贝叶斯

统计学是生物信息学的"数学内核"，几个核心概念必须掌握：假设检验（生物信息学的一切"发现"都依赖统计检验——"这个基因在疾病组与对照组中表达有差异吗"→ t 检验/Wilcoxon 检验）；p 值与显著性（p<0.05 是常用阈值，但"显著性"不等于"重要性"——效应量同样关键）；多重检验校正（生物信息学的"特有难题"：一次差异表达分析同时检验上万个基因——"多重比较"会让假阳性爆炸（1 万个检验、每个 5% 假阳性 = 500 个假阳性）——必须校正（Bonferroni 校正（严格但保守）、FDR（错误发现率，Benjamini-Hochberg 方法——生物信息学最常用））；以及贝叶斯思维（先验 + 数据 → 后验——变异检测（贝叶斯基因型判定）、系统发育（贝叶斯树推断）都依赖贝叶斯框架）。

统计概念在生物信息学中的"实践场景"：差异表达分析（DESeq2、edgeR——基于负二项分布的统计模型）；富集分析（超几何检验——"这个通路的基因是否显著富集"）；聚类与分类的评估（交叉验证、AUC——机器学习模型的统计评估）；以及"批次效应"（batch effect——不同实验批次的系统性偏差——需要统计校正（ComBat 等）——"统计不是可选的，而是数据质量的最后一道防线"）。做一个"统计直觉"练习：理解"为什么生物信息学总是强调大样本与重复"（统计功效——样本量决定检验能否"检测到真实差异"）；理解"为什么 FDR 比 Bonferroni 更适合生物数据"（生物数据中"大量真实信号 + 大量噪声"并存——FDR 允许"可控比例的错误发现"（如 5%），比"一个假阳性都不容忍"的 Bonferroni 更合理）。生物信息学的统计内核提醒我们：生物学的"发现"必须经过统计的"审查"——掌握假设检验、多重检验与贝叶斯，你就掌握了判断"生物信息学结论是否可信"的标尺。
回顾本节核心：假设检验（发现"真实差异"）、多重检验校正（FDR——生物数据的假阳性控制）、贝叶斯（先验+数据→后验）。统计是"生物发现的审查官"——从差异表达到富集分析到变异检测，统计决定了"结论是否可信"。