2.1 核子的组成与原子核的质量
2.1 核子的组成与原子核的质量
本节摘要：原子核由质子和中子组成，但核子的总质量并不等于原子核的质量——两者之间的差值就是质量亏损，它通过爱因斯坦质能方程转化为结合能。结合能是衡量原子核稳定性的核心指标，而平均结合能曲线则揭示了核物理学中最重要的规律之一：轻核倾向于聚变、重核倾向于裂变，而铁附近的核最为稳定。本节从核子基本性质出发，推导质量亏损和结合能的计算公式，分析结合能曲线的物理含义。
先说结论
阅读完本节，你应当能够：
- 说明质子和中子的基本性质（电荷、质量、夸克组成）及其差异
- 计算给定核素的质量亏损和结合能
- 画出平均结合能曲线的示意图，说明其物理含义
- 解释为什么轻核聚变和重核裂变都能释放能量
质子与中子：核子的基本面貌
质子和中子虽然同属核子家族，但两者在电荷和质量上存在微妙差异。质子带有正电荷，其电荷量精确等于一个基本电荷单位。中子不带电，这使得中子在电磁相互作用中是"隐身"的——它不受库仑势垒的阻挡，可以自由穿透原子核的外围电场。这个性质在核反应中极其重要：用质子或阿尔法粒子去轰击重核时，库仑排斥力会大幅降低反应概率，而中子则可以轻松进入重核。
质子的静质量约为938.272 MeV每光速平方，中子的静质量约为939.565 MeV每光速平方。中子比质子重约1.293 MeV，这个看似微小的质量差实际上是一系列重要物理现象的根源。自由中子（不在原子核内的中子）是不稳定的，它会通过贝塔负衰变转变为质子，半衰期约14.7分钟。在原子核内部，中子可以被核力稳定住，但如果核内中子过多或质子过多，这个不平衡同样会通过贝塔衰变来调整。
在更深的层次上，质子和中子都不是基本粒子。它们由更小的夸克组成：质子由两个上夸克（u）和一个下夸克（d）组成，中子由一个上夸克和两个下夸克组成。上夸克带正三分之二基本电荷，下夸克带负三分之一基本电荷，所以质子的总电荷为三分之二加三分之二减三分之一等于正一，中子为三分之一减三分之一减三分之一等于零。夸克之间通过色力（强相互作用的量子色动力学描述）相互作用，但核力本质上是色力的"泄漏"或残余效应——类似于分子间的范德华力是电磁力的残余。
然而，在核物理的典型能量尺度下（几个MeV），我们通常不需要深入夸克层次，把质子和中子当作基本处理单元就足够了。就像在化学中我们通常不需要考虑原子核内部的夸克结构，只需要知道原子序数就够了。
质量亏损与结合能
这里涉及核物理中一个反直觉但极其重要的现象：原子核的质量小于组成它的核子质量之和。具体地说，如果一个原子核有Z个质子和N个中子，它的质量M并不等于Z乘以质子质量加上N乘以中子质量，而是略小一些。这个差值被称为"质量亏损"，通常记作三角形m。
结合能Eb的定义是：将一个原子核完全分解为自由核子所需的能量。根据质能方程，结合能等于质量亏损乘以光速的平方。
一个重要的实用细节：在实际计算中，我们通常使用原子质量（包含电子的质量）而不是核质量。这样可以自动抵消电子的贡献。以碳-12为例，它的原子质量恰好是12.00000u（这就是原子质量单位的定义）。碳-12有6个质子和6个中子，如果核子完全自由，总质量应该是6乘以1.00728u加上6乘以1.00867u等于12.09570u。实际原子质量是12.00000u，质量亏损为0.09570u，对应结合能约为89.16 MeV。
图：质量亏损的示意图
平均结合能曲线：核稳定性的全景图
把每个核子的平均结合能（总结合能除以质量数A）对质量数A作图，就得到著名的平均结合能曲线。这条曲线是核物理学中信息密度最高的一张图——几乎所有关于核稳定性和能量释放的重要结论都可以从中读出。
曲线从轻核端（A小于20）开始，结合能随A增大而迅速上升。氢-2（氘）的每核子结合能只有约1.1 MeV，而氦-4就达到了约7.1 MeV——这意味着两个氘聚变成一个氦-4可以释放大量能量。轻核区曲线上的"峰"对应特别稳定的核素，比如氦-4、碳-12、氧-16，它们的每核子结合能明显高于邻居。
曲线在A约等于56附近（铁-56、镍-62）达到最大值，约8.8 MeV每核子。这意味着铁-56附近的原子核最为"紧密"，结合得最牢固。从铁-56继续向重核方向，曲线缓慢下降。铀-238的每核子结合能约为7.6 MeV，比铁-56低了约1.2 MeV。
这条曲线的形状直接解释了为什么聚变和裂变都能释放能量：轻核聚变成更重的核，每核子结合能升高（释放能量）；重核裂变成中等质量的核，每核子结合能也升高（同样释放能量）。这是恒星能量来源（轻核聚变）和核电站能量来源（重核裂变）的共同物理基础。
定量计算示例
以氦-4为例演示结合能的计算。氦-4原子核有2个质子和2个中子。使用原子质量计算：氦-4原子质量为4.002603u，两个氢原子质量为2乘以1.007825u等于2.015650u，两个中子质量为2乘以1.008665u等于2.017330u。自由核子总质量为2.015650加2.017330等于4.032980u。质量亏损为4.032980减4.002603等于0.030377u。结合能为0.030377乘以931.494等于28.30 MeV。每核子结合能为28.30除以4等于7.07 MeV。
这个结果告诉我们：要把一个氦-4核拆成两个质子和两个中子，需要28.30 MeV的能量。反过来，两个质子和两个中子结合成氦-4时会释放28.30 MeV的能量。这个能量相当可观——作为对比，典型的化学键能只有几个eV（MeV的百万分之一）。
Weizsäcker半经验质量公式
为了系统性地计算任意核素的结合能，物理学家基于液滴模型的思想发展了Weizsäcker半经验质量公式。这个公式把结合能分解为五项贡献：体积项正比于A，反映核力饱和性导致的体积能量；表面项正比于A的三分之二次方，修正表面核子结合能较少的事实；库仑项正比于Z的平方除以A的三分之一次方，反映质子间库仑排斥能；对称项正比于A减2Z的平方除以A，反映中子质子不对称对稳定性的影响；对偶项反映奇偶效应——偶偶核最稳定，奇奇核最不稳定。
体积项和表面项的比值大约为A的三分之一次方。对于轻核，表面修正相对体积项的比例较大，这就是轻核每核子结合能偏低的原因。随着A增大，表面效应的相对贡献减小，每核子结合能上升。但库仑项随Z增大而增长更快，最终导致重核的结合能重新下降——这就是平均结合能曲线先升后降形状的物理根源。
Weizsäcker公式虽然是一个半经验公式（参数由拟合实验数据确定），但它成功地预言了原子核的许多宏观性质。用它计算的原子质量与实验值的偏差通常在几百keV以内。更重要的是，这个公式的每一项都有清晰的物理含义，让我们能够直觉地理解哪些因素在影响原子核的稳定性。这个公式将在第6章液滴模型中更详细地讨论。
从结合能到核稳定性判据
结合能的大小直接关系到原子核的稳定性，但结合能本身不是直接的稳定性判据——我们需要看的是分离能（最后一个核子的结合能）。如果一个核素中最后一个中子（或质子）的结合能为负，意味着这个核子不受束缚，会自发地"蒸发"出来，这个核素就不可能存在。中子分离能为零的边界就是中子滴线，质子分离能为零的边界就是质子滴线。目前实验上只确定了一小部分滴线位置，大部分滴线位置还需要理论外推。
另一个重要的稳定性判据是贝塔衰变的能量条件。如果一个核素通过贝塔衰变（将一个中子变为质子或反过来）后，子核的结合能更高，那么这个贝塔衰变在能量上是允许的，核素就不稳定。只有当所有可能的贝塔衰变通道在能量上都被禁止时，核素才对贝塔衰变稳定。稳定核素在核素图上形成的区域就是前文提到的"稳定带"。
重点提炼
- 要点一：质子（uud）带正电，中子（udd）不带电，两者质量差约1.29 MeV，这是自由中子衰变的根本原因
- 要点二：原子核的质量小于其组成核子质量之和，差值称为质量亏损，对应的能量就是结合能
- 要点三：平均结合能曲线从轻核快速上升，在铁-56附近达到峰值（约8.8 MeV），然后缓慢下降
- 要点四：结合能曲线解释了为什么轻核聚变和重核裂变都能释放能量
- 要点五：氦-4的结合能为28.30 MeV，每核子约7.07 MeV，远大于化学键能
实际应用：从结合能到核能
结合能曲线不仅是一个理论概念，它直接决定了核能利用的两种途径。裂变反应堆利用的是重核裂变时释放的结合能差。以铀-235裂变为例，一个铀-235核吸收一个中子后裂变为两个中等质量的碎片（比如钡-141和氪-92），加上三个中子。裂变产物的总结合能约为200 MeV，远高于原始铀-235的结合能。这200 MeV的能量以碎片动能（约170 MeV）、瞬发中子动能（约5 MeV）、伽马射线（约15 MeV）和贝塔/伽马衰变能（约10 MeV）的形式释放。
聚变能利用的是轻核聚变释放的结合能差。氘氚聚变（氘-2加氚-3产生氦-4加中子）释放17.6 MeV，虽然单次反应释放的能量不及裂变，但单位质量的燃料释放的能量远高于裂变。海水中氘的储量几乎无限，这就是为什么聚变被视为人类终极能源。
结合能曲线并不能告诉我们反应能否实际发生——还需要考虑反应截面、库仑势垒、中子通量等工程因素。但从能量角度看，结合能曲线给出了核能利用的"地图"：哪些反应在能量上有利，哪些反应在能量上不利，一目了然。