4.3 衰变定律与衰变链
4.3 衰变定律与衰变链
本节摘要：放射性衰变是典型的统计过程——每个原子核何时衰变无法预言，群体却严格服从指数衰减律。单个核有半衰期与平均寿命，群体有活度与衰变常数。更常见的是母、子、孙核排成长链依次衰变，形成放射平衡。本节用 Python 数值精确解耦贝特曼方程，画出铀-238链与锗/镭的母子平衡曲线，并算医学造影里活度随时间的演化。
学习目标
阅读完本节，你应当能够：
- 写出指数衰变律与半衰期、衰变常数、平均寿命的关系式
- 用活度公式计算任意时刻的剩余原子数
- 解解码两级及以上衰变链的贝特曼方程数值解
- 解释什么是暂时平衡与长期平衡
- 用真实同位素算医学显像剂的活度衰减曲线
一个核的命运无法预测
如果我们盯住单个铀-235，根本说不清它下一秒衰不衰变，运气属于随机过程。可当样本里有亿万个核时，统计规律异常精确——每秒衰变的比例恒定。这个“瞪大眼的随机、群体上的确定”正是放射性的迷人处：它把量子概率放大到宏观钟表上，让计时、医疗、考古都有了可靠抓手。
指数衰变律与三个时间量
放射性核素满足 dN/dt = −λN，解出 N(t) = N₀ e^(−λt)，λ 称为衰变常数。与之配套的三个时间量常被混用：半衰期 T½=ln2/λ（剩一半所需时间）、平均寿命 τ=1/λ（延到只剩 1/e 的时间）、衰变常数 λ（每秒每个核衰变的概率）。它们之间靠 ln2 这把钥匙互相换算。上面三者的单位天然相容：T½ 最短，τ = T½/ln2，约为半衰期的 1.44 倍。
活度：每秒崩几次
活度 A = λN = A₀ e^(−λt)，单位是贝克勒尔（次/秒）或居里（3.7×10¹⁰ 次/秒）。活度和“核数×衰变常数”绑定，同一批样品中质量越多活度越高。放疗按活度配剂量、获准上飞机的放射性货件按活度限量、考古样本按比活度定年——活度是放射性世界的“人口普查”。
级联衰变：贝特曼方程的数值解
现实中核常排成 A → B → C 的长链。母核以 λ₁ 衰变，子核既不断产生又同时衰减，数量演化由贝特曼方程组描述。逐级解析解复杂，用 Python 做数值时间推进最直观。下面求解两级链“赚取-继承”的演化并画出百分数走势：
import math def chain(t, lam1, lam2): """给定时刻 t，返回母核占比 f1 与子核占比 f2（总和不一定为1，可有孙核）""" e1, e2 = math.exp(-lam1*t), math.exp(-lam2*t) f1 = e1 f2 = lam1/(lam2-lam1)*(e1-e2) if abs(lam2-lam1)>1e-12 else lam1*t*e1 return f1, f2 # 举例: 钼-99(t1/2=66h) → 锝-99m(t1/2=6h), 用小时为单位 lam1 = math.log(2)/66.0; lam2 = math.log(2)/6.0 for h in (6, 12, 24, 48, 66): f1, f2 = chain(h, lam1, lam2) print(f"t={h:3d}h 母核钼99剩余{f1*100:5.1f}% 子核锝99m占比{f2*100:5.1f}%") print("约 4~5 个母核半衰期后进入暂平衡: 子核活度跟母核同速消减")
这个非线性走势与大家熟悉的“先升后降再同速率衰减”完全吻合。临床用它解释冷却一定时间再洗脱锝-99m 让子体产量最大化——贝特曼方程不是纸面公式，而是医院核素制备房的排班表。
暂平衡与长期平衡
当子核比母核衰变快得多（λ₂ ≫ λ₁），一段时间后子核活度与母核达成“比例固定、一起衰减”的暂时平衡；当母核极其长寿、λ₁≈0，子核则接近长期平衡，活度近似恒定。铀-238 → 钍-234 就是这样一条极慢母核的长期平衡链——母核 45 亿年，子体几天内就稳定。这套判别式在放射性污染监测、核燃料后处理里到处在用。
图：母核—子核活度的演化曲线示意
真实案例：肺癌液中为何“发现”氧之外的钋
对参与核救治和辐射防护的人来说，衰减链比单一同位素更有现实意义。肺对氡气长链的子体（如钋-218、铅-214）沉降在支气管壁持续照射，是室内氡致癌的重要机制。认识子体恶化的时间刻度，工程人员就能定通风周期；家长通风换气能显著降低每立方米活度，从而降低长期累积剂量——贝特曼方程给了这些行动以物理依据。
与前后章节的关联
衰变律是整个放射化学的“时间轴”。第5章核反应的产物经贝特曼处理就得到剩余核素组成的演化；第7章的谱学需要对活度随时间的修正，第8章的核医学、示踪与考古定年全部建立在“活度以已知半衰期衰减”的假设上。理解本节，等于掌握了放射性世界的时间表。
本节要点回顾
- 指数律：N(t)=N₀e^(−λt)，T½=ln2/λ，τ=1/λ
- 活度 A=λN，串了核数、衰变常数与每秒计数
- 贝特曼方程数值推进可解多级链，表现“先升后降”的子核曲线
- 暂平衡（λ₂≫λ₁）与长期平衡（λ₁≈0）是两条实用判别式
- 医疗/污染：钼-99母-锝-99m、氡衰变链都靠它排程与防护
阿尔法、贝塔、伽马与链式衰变几乎唱完常规戏，可总有些“不合群”的变态衰变突破常规——下一节看非常规衰变模式。