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77.组合优化

算法公开课

《代码随想录》算法视频公开课：，相信结合视频在看本篇题解，更有助于大家对本题的理解。

思路

在回溯算法：求组合问题！中，我们通过回溯搜索法，解决了n个数中求k个数的组合问题。

文中的回溯法是可以剪枝优化的，本篇我们继续来看一下题目77. 组合。

链接：https://leetcode.cn/problems/combinations/

看本篇之前，需要先看回溯算法：求组合问题！。

大家先回忆一下[77. 组合]给出的回溯法的代码：

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
    vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
            path.push_back(i); // 处理节点
            backtracking(n, k, i + 1); // 递归
            path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        result.clear(); // 可以不写
        path.clear();   // 可以不写
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};
​

剪枝优化

我们说过，回溯法虽然是暴力搜索，但也有时候可以有点剪枝优化一下的。

在遍历的过程中有如下代码：

for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
    path.push_back(i);
    backtracking(n, k, i + 1);
    path.pop_back();
}
​

这个遍历的范围是可以剪枝优化的，怎么优化呢？

来举一个例子，n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了。 在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。

这么说有点抽象，如图所示：

图中每一个节点（图中为矩形），就代表本层的一个for循环，那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话，都没有意义，都是无效遍历。

所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。

如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。

注意代码中i，就是for循环里选择的起始位置。

for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
​

接下来看一下优化过程如下：

1. 已经选择的元素个数：path.size();

2. 所需需要的元素个数为: k - path.size();

3. 列表中剩余元素（n-i） >= 所需需要的元素个数（k - path.size()）

4. 在集合n中至多要从该起始位置 : i <= n - (k - path.size()) + 1，开始遍历

为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。

举个例子，n = 4，k = 3， 目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。

从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。

这里大家想不懂的话，建议也举一个例子，就知道是不是要+1了。

所以优化之后的for循环是：

for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) // i为本次搜索的起始位置
​

优化后整体代码如下：

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) { // 优化的地方
            path.push_back(i); // 处理节点
            backtracking(n, k, i + 1);
            path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
        }
    }
public:

    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};
​

• 时间复杂度: O(n * 2^n)
• 空间复杂度: O(n)

总结

本篇我们针对求组合问题的回溯法代码做了剪枝优化，这个优化如果不画图的话，其实不好理解，也不好讲清楚。

所以我依然是把整个回溯过程抽象为一棵树形结构，然后可以直观的看出，剪枝究竟是剪的哪里。

就酱，学到了就帮Carl转发一下吧，让更多的同学知道这里！

其他语言版本

Java

class Solution {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
        combineHelper(n, k, 1);
        return result;
    }

    /**
     * 每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex
     * @param startIndex 用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。
     */
    private void combineHelper(int n, int k, int startIndex){
        //终止条件
        if (path.size() == k){
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++){
            path.add(i);
            combineHelper(n, k, i + 1);
            path.removeLast();
        }
    }
}
​

Python

class Solution:
    def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
        result = []  # 存放结果集
        self.backtracking(n, k, 1, [], result)
        return result
    def backtracking(self, n, k, startIndex, path, result):
        if len(path) == k:
            result.append(path[:])
            return
        for i in range(startIndex, n - (k - len(path)) + 2):  # 优化的地方
            path.append(i)  # 处理节点
            self.backtracking(n, k, i + 1, path, result)
            path.pop()  # 回溯，撤销处理的节点




​

Go

var (
    path []int
    res  [][]int
)

func combine(n int, k int) [][]int {
    path, res = make([]int, 0, k), make([][]int, 0)
    dfs(n, k, 1)
    return res
}

func dfs(n int, k int, start int) {
    if len(path) == k {  
        tmp := make([]int, k)
        copy(tmp, path)
        res = append(res, tmp)
        return 
    }
    for i := start; i <= n - (k-len(path)) + 1; i++ {  
        path = append(path, i)
        dfs(n, k, i+1)
        path = path[:len(path)-1]
    }
}
​

JavaScript

var combine = function(n, k) {
    const res = [], path = [];
    backtracking(n, k, 1);
    return res;
    function backtracking (n, k, i){
        const len = path.length;
        if(len === k) {
            res.push(Array.from(path));
            return;
        }
        for(let a = i; a <= n + len - k + 1; a++) {
            path.push(a);
            backtracking(n, k, a + 1);
            path.pop();
        }
    }
};
​

TypeScript

function combine(n: number, k: number): number[][] {
    let resArr: number[][] = [];
    function backTracking(n: number, k: number, startIndex: number, tempArr: number[]): void {
        if (tempArr.length === k) {
            resArr.push(tempArr.slice());
            return;
        }
        for (let i = startIndex; i <= n - k + 1 + tempArr.length; i++) {
            tempArr.push(i);
            backTracking(n, k, i + 1, tempArr);
            tempArr.pop();
        }
    }
    backTracking(n, k, 1, []);
    return resArr;
};
​

Rust

impl Solution {
    fn backtracking(result: &mut Vec<Vec<i32>>, path: &mut Vec<i32>, n: i32, k: i32, start_index: i32) {
        let len= path.len() as i32;
        if len == k{
            result.push(path.to_vec());
            return;
        }
	// 此处剪枝
        for i in start_index..= n - (k - len) + 1 {
            path.push(i);
            Self::backtracking(result, path, n, k, i+1);
            path.pop();
        }
    }
    pub fn combine(n: i32, k: i32) -> Vec<Vec<i32>> {
        let mut result = vec![];
        let mut path = vec![];
        Self::backtracking(&mut result, &mut path, n, k, 1);
        result
    }
}
​

C

int* path;
int pathTop;
int** ans;
int ansTop;

void backtracking(int n, int k,int startIndex) {
    //当path中元素个数为k个时，我们需要将path数组放入ans二维数组中
    if(pathTop == k) {
        //path数组为我们动态申请，若直接将其地址放入二维数组，path数组中的值会随着我们回溯而逐渐变化
        //因此创建新的数组存储path中的值
        int* temp = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
        int i;
        for(i = 0; i < k; i++) {
            temp[i] = path[i];
        }
        ans[ansTop++] = temp;
        return ;
    }

    int j;
    for(j = startIndex; j <= n- (k - pathTop) + 1;j++) {
        //将当前结点放入path数组
        path[pathTop++] = j;
        //进行递归
        backtracking(n, k, j + 1);
        //进行回溯，将数组最上层结点弹出
        pathTop--;
    }
}

int** combine(int n, int k, int* returnSize, int** returnColumnSizes){
    //path数组存储符合条件的结果
    path = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
    //ans二维数组存储符合条件的结果数组的集合。（数组足够大，避免极端情况）
    ans = (int**)malloc(sizeof(int*) * 10000);
    pathTop = ansTop = 0;

    //回溯算法
    backtracking(n, k, 1);
    //最后的返回大小为ans数组大小
    *returnSize = ansTop;
    //returnColumnSizes数组存储ans二维数组对应下标中一维数组的长度（都为k）
    *returnColumnSizes = (int*)malloc(sizeof(int) *(*returnSize));
    int i;
    for(i = 0; i < *returnSize; i++) {
        (*returnColumnSizes)[i] = k;
    }
    //返回ans二维数组
    return ans;
}
​

Swift

func combine(_ n: Int, _ k: Int) -> [[Int]] {
    var path = [Int]()
    var result = [[Int]]()
    func backtracking(start: Int) {
        // 结束条件，并收集结果
        if path.count == k {
            result.append(path)
            return
        }

        // 单层逻辑
        // let end = n
        // 剪枝优化
        let end = n - (k - path.count) + 1
        guard start <= end else { return }
        for i in start ... end {
            path.append(i) // 处理结点
            backtracking(start: i + 1) // 递归
            path.removeLast() // 回溯
        }
    }

    backtracking(start: 1)
    return result
}
​

Scala

object Solution {
  import scala.collection.mutable // 导包
  def combine(n: Int, k: Int): List[List[Int]] = {
    var result = mutable.ListBuffer[List[Int]]() // 存放结果集
    var path = mutable.ListBuffer[Int]() //存放符合条件的结果

    def backtracking(n: Int, k: Int, startIndex: Int): Unit = {
      if (path.size == k) {
        // 如果path的size == k就达到题目要求，添加到结果集，并返回
        result.append(path.toList)
        return
      }
      // 剪枝优化
      for (i <- startIndex to (n - (k - path.size) + 1)) { 
        path.append(i) // 先把数字添加进去
        backtracking(n, k, i + 1) // 进行下一步回溯
        path = path.take(path.size - 1) // 回溯完再删除掉刚刚添加的数字
      }
    }

    backtracking(n, k, 1) // 执行回溯
    result.toList // 最终返回result的List形式，return关键字可以省略
  }
}
​