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474.一和零

力扣题目链接

给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。

请你找出并返回 strs 的最大子集的大小，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。

如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。

示例 1：

• 输入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3

• 输出：4

• 解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。
  其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。

示例 2：

• 输入：strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1
• 输出：2
• 解释：最大的子集是 {"0", "1"} ，所以答案是 2 。

提示：

• 1 <= strs.length <= 600
• 1 <= strs[i].length <= 100
• strs[i] 仅由 '0' 和 '1' 组成
• 1 <= m, n <= 100

算法公开课

《代码随想录》算法视频公开课：，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解。

思路

如果对背包问题不都熟悉先看这两篇：

• 动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！
• 动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）

这道题目，还是比较难的，也有点像程序员自己给自己出个脑筋急转弯，程序员何苦为难程序员呢。

来说题，本题不少同学会认为是多重背包，一些题解也是这么写的。

其实本题并不是多重背包，再来看一下这个图，捋清几种背包的关系

多重背包是每个物品，数量不同的情况。

本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！

而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包。

理解成多重背包的同学主要是把m和n混淆为物品了，感觉这是不同数量的物品，所以以为是多重背包。

但本题其实是01背包问题！

只不过这个背包有两个维度，一个是m 一个是n，而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。

开始动规五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。

2. 确定递推公式

dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。

dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。

然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。

所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);

此时大家可以回想一下01背包的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

对比一下就会发现，字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weight[i]），字符串本身的个数相当于物品的价值（value[i]）。

这就是一个典型的01背包！ 只不过物品的重量有了两个维度而已。

3. dp数组如何初始化

在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）中已经讲解了，01背包的dp数组初始化为0就可以。

因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。

4. 确定遍历顺序

在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）中，我们讲到了01背包为什么一定是外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历！

那么本题也是，物品就是strs里的字符串，背包容量就是题目描述中的m和n。

代码如下：

for (string str : strs) { // 遍历物品
    int oneNum = 0, zeroNum = 0;
    for (char c : str) {
        if (c == '0') zeroNum++;
        else oneNum++;
    }
    for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
        for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
        }
    }
}
​

有同学可能想，那个遍历背包容量的两层for循环先后循序有没有什么讲究？

没讲究，都是物品重量的一个维度，先遍历哪个都行！

5. 举例推导dp数组

以输入：["10","0001","111001","1","0"]，m = 3，n = 3为例

最后dp数组的状态如下所示：

以上动规五部曲分析完毕，C++代码如下：

class Solution {
public:
    int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int> (n + 1, 0)); // 默认初始化0
        for (string str : strs) { // 遍历物品
            int oneNum = 0, zeroNum = 0;
            for (char c : str) {
                if (c == '0') zeroNum++;
                else oneNum++;
            }
            for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
                for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};
​

• 时间复杂度: O(kmn)，k 为strs的长度
• 空间复杂度: O(mn)

C++:
使用三维数组的版本

class Solution {
public:
    int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
        int num_of_str = strs.size();

		vector<vector<vector<int>>> dp(num_of_str, vector<vector<int>>(m + 1,vector<int>(n + 1, 0)));

		/* 	dp[i][j][k] represents, if choosing items among strs[0] to strs[i] to form a subset, 
			what is the maximum size of this subset such that there are no more than m 0's and n 1's in this subset. 
			Each entry of dp[i][j][k] is initialized with 0
			
			transition formula:
			using x[i] to indicates the number of 0's in strs[i]
			using y[i] to indicates the number of 1's in strs[i]
			
			dp[i][j][k] = max(dp[i-1][j][k], dp[i-1][j - x[i]][k - y[i]] + 1)

		*/


		// num_of_zeros records the number of 0's for each str
		// num_of_ones records the number of 1's for each str
		// find the number of 0's and the number of 1's for each str in strs
		vector<int> num_of_zeros;
		vector<int> num_of_ones;
		for (auto& str : strs){
			int count_of_zero = 0;
			int count_of_one = 0;
			for (char &c : str){
				if(c == '0') count_of_zero ++;
				else count_of_one ++;
			}
			num_of_zeros.push_back(count_of_zero);
			num_of_ones.push_back(count_of_one);
			
		}

		
		// num_of_zeros[0] indicates the number of 0's for str[0]
		// num_of_ones[0] indiates the number of 1's for str[1]

		// initialize the 1st plane of dp[i][j][k], i.e., dp[0][j][k]
		// if num_of_zeros[0] > m or num_of_ones[0] > n, no need to further initialize dp[0][j][k], 
		// because they have been intialized to 0 previously
		if(num_of_zeros[0] <= m && num_of_ones[0] <= n){
			// for j < num_of_zeros[0] or k < num_of_ones[0], dp[0][j][k] = 0
			for(int j = num_of_zeros[0]; j <= m; j++){
				for(int k = num_of_ones[0]; k <= n; k++){
					dp[0][j][k] = 1;
				}
			}
		}

		/*	if j - num_of_zeros[i] >= 0 and k - num_of_ones[i] >= 0:
				dp[i][j][k] = max(dp[i-1][j][k], dp[i-1][j - num_of_zeros[i]][k - num_of_ones[i]] + 1)  
			else:
				dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k]
		*/

		for (int i = 1; i < num_of_str; i++){
			int count_of_zeros = num_of_zeros[i];
			int count_of_ones = num_of_ones[i]; 
			for (int j = 0; j <= m; j++){
				for (int k = 0; k <= n; k++){
					if( j < count_of_zeros || k < count_of_ones){
						dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k];
					}else{
						dp[i][j][k] = max(dp[i-1][j][k], dp[i-1][j - count_of_zeros][k - count_of_ones] + 1);
					}
				}
			}
			
		}

		return dp[num_of_str-1][m][n];

    }
};
​

总结

不少同学刷过这道题，可能没有总结这究竟是什么背包。

此时我们讲解了0-1背包的多种应用，

• 纯 0 - 1 背包 是求 给定背包容量 装满背包 的最大价值是多少。
• 416. 分割等和子集 是求 给定背包容量，能不能装满这个背包。
• 1049. 最后一块石头的重量 II 是求 给定背包容量，尽可能装，最多能装多少
• 494. 目标和 是求 给定背包容量，装满背包有多少种方法。
• 本题是求 给定背包容量，装满背包最多有多少个物品。

所以在代码随想录中所列举的题目，都是 0-1背包不同维度上的应用，大家可以细心体会！

其他语言版本

Java

class Solution {
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        //dp[i][j]表示i个0和j个1时的最大子集
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        int oneNum, zeroNum;
        for (String str : strs) {
            oneNum = 0;
            zeroNum = 0;
            for (char ch : str.toCharArray()) {
                if (ch == '0') {
                    zeroNum++;
                } else {
                    oneNum++;
                }
            }
            //倒序遍历
            for (int i = m; i >= zeroNum; i--) {
                for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}
​

Python

DP（版本一）

class Solution:
    def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int:
        dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]  # 创建二维动态规划数组，初始化为0
        for s in strs:  # 遍历物品
            zeroNum = s.count('0')  # 统计0的个数
            oneNum = len(s) - zeroNum  # 统计1的个数
            for i in range(m, zeroNum - 1, -1):  # 遍历背包容量且从后向前遍历
                for j in range(n, oneNum - 1, -1):
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1)  # 状态转移方程
        return dp[m][n]

​

DP（版本二）

class Solution:
    def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int:
        dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]  # 创建二维动态规划数组，初始化为0
        # 遍历物品
        for s in strs:
            ones = s.count('1')  # 统计字符串中1的个数
            zeros = s.count('0')  # 统计字符串中0的个数
            # 遍历背包容量且从后向前遍历
            for i in range(m, zeros - 1, -1):
                for j in range(n, ones - 1, -1):
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeros][j - ones] + 1)  # 状态转移方程
        return dp[m][n]

​

Go

func findMaxForm(strs []string, m int, n int) int {
	// 定义数组
	dp := make([][]int, m+1)
	for i,_ := range dp {
		dp[i] = make([]int, n+1 )
	}
	// 遍历
	for i:=0;i<len(strs);i++ {
		zeroNum,oneNum := 0 , 0
		//计算0,1 个数
		//或者直接strings.Count(strs[i],"0")
		for _,v := range strs[i] {
			if v == '0' {
				zeroNum++
			}
		}
		oneNum = len(strs[i])-zeroNum
		// 从后往前 遍历背包容量
		for j:= m ; j >= zeroNum;j-- {
			for k:=n ; k >= oneNum;k-- {
				// 推导公式
				dp[j][k] = max(dp[j][k],dp[j-zeroNum][k-oneNum]+1)
			}
		}
		//fmt.Println(dp)
	}
	return dp[m][n]
}

func max(a,b int) int {
	if a > b {
		return a
	}
	return b
}
​

Javascript

const findMaxForm = (strs, m, n) => {
    const dp = Array.from(Array(m+1), () => Array(n+1).fill(0));
    let numOfZeros, numOfOnes;

    for(let str of strs) {
        numOfZeros = 0;
        numOfOnes = 0;
    
        for(let c of str) {
            if (c === '0') {
                numOfZeros++;
            } else {
                numOfOnes++;
            }
        }

        for(let i = m; i >= numOfZeros; i--) {
            for(let j = n; j >= numOfOnes; j--) {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - numOfZeros][j - numOfOnes] + 1);
            }
        }
    }

    return dp[m][n];
};
​

TypeScript

滚动数组，二维数组法

type BinaryInfo = { numOfZero: number, numOfOne: number };
function findMaxForm(strs: string[], m: number, n: number): number {
    const goodsNum: number = strs.length;
    const dp: number[][] = new Array(m + 1).fill(0)
        .map(_ => new Array(n + 1).fill(0));
    for (let i = 0; i < goodsNum; i++) {
        const { numOfZero, numOfOne } = countBinary(strs[i]);
        for (let j = m; j >= numOfZero; j--) {
            for (let k = n; k >= numOfOne; k--) {
                dp[j][k] = Math.max(dp[j][k], dp[j - numOfZero][k - numOfOne] + 1);
            }
        }
    }
    return dp[m][n];
};
function countBinary(str: string): BinaryInfo {
    let numOfZero: number = 0,
        numOfOne: number = 0;
    for (let s of str) {
        if (s === '0') {
            numOfZero++;
        } else {
            numOfOne++;
        }
    }
    return { numOfZero, numOfOne };
}
​

传统背包，三维数组法

type BinaryInfo = { numOfZero: number, numOfOne: number };
function findMaxForm(strs: string[], m: number, n: number): number {
    /**
        dp[i][j][k]: 前i个物品中, 背包的0容量为j, 1容量为k, 最多能放的物品数量
     */
    const goodsNum: number = strs.length;
    const dp: number[][][] = new Array(goodsNum).fill(0)
        .map(_ => new Array(m + 1)
            .fill(0)
            .map(_ => new Array(n + 1).fill(0))
        );
    const { numOfZero, numOfOne } = countBinary(strs[0]);
    for (let i = numOfZero; i <= m; i++) {
        for (let j = numOfOne; j <= n; j++) {
            dp[0][i][j] = 1;
        }
    }
    for (let i = 1; i < goodsNum; i++) {
        const { numOfZero, numOfOne } = countBinary(strs[i]);
        for (let j = 0; j <= m; j++) {
            for (let k = 0; k <= n; k++) {
                if (j < numOfZero || k < numOfOne) {
                    dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];
                } else {
                    dp[i][j][k] = Math.max(dp[i - 1][j][k], dp[i - 1][j - numOfZero][k - numOfOne] + 1);
                }
            }
        }
    }
    return dp[dp.length - 1][m][n];
};
function countBinary(str: string): BinaryInfo {
    let numOfZero: number = 0,
        numOfOne: number = 0;
    for (let s of str) {
        if (s === '0') {
            numOfZero++;
        } else {
            numOfOne++;
        }
    }
    return { numOfZero, numOfOne };
}
​

回溯法（会超时）

function findMaxForm(strs: string[], m: number, n: number): number {
    /**
        思路：暴力枚举strs的所有子集，记录符合条件子集的最大长度
     */
    let resMax: number = 0;
    backTrack(strs, m, n, 0, []);
    return resMax;
    function backTrack(
        strs: string[], m: number, n: number,
        startIndex: number, route: string[]
    ): void {
        if (startIndex === strs.length) return;
        for (let i = startIndex, length = strs.length; i < length; i++) {
            route.push(strs[i]);
            if (isValidSubSet(route, m, n)) {
                resMax = Math.max(resMax, route.length);
                backTrack(strs, m, n, i + 1, route);
            }
            route.pop();
        }
    }
};
function isValidSubSet(strs: string[], m: number, n: number): boolean {
    let zeroNum: number = 0,
        oneNum: number = 0;
    strs.forEach(str => {
        for (let s of str) {
            if (s === '0') {
                zeroNum++;
            } else {
                oneNum++;
            }
        }
    });
    return zeroNum <= m && oneNum <= n;
}
​

Scala

背包：

object Solution {
  def findMaxForm(strs: Array[String], m: Int, n: Int): Int = {
    var dp = Array.ofDim[Int](m + 1, n + 1)

    var (oneNum, zeroNum) = (0, 0)

    for (str <- strs) {
      oneNum = 0
      zeroNum = 0
      for (i <- str.indices) {
        if (str(i) == '0') zeroNum += 1
        else oneNum += 1
      }

      for (i <- m to zeroNum by -1) {
        for (j <- n to oneNum by -1) {
          dp(i)(j) = math.max(dp(i)(j), dp(i - zeroNum)(j - oneNum) + 1)
        }
      }
    }

    dp(m)(n)
  }
}
​

回溯法(超时)：

object Solution {
  import scala.collection.mutable

  var res = Int.MinValue

  def test(str: String): (Int, Int) = {
    var (zero, one) = (0, 0)
    for (i <- str.indices) {
      if (str(i) == '1') one += 1
      else zero += 1
    }
    (zero, one)
  }

  def travsel(strs: Array[String], path: mutable.ArrayBuffer[String], m: Int, n: Int, startIndex: Int): Unit = {
    if (startIndex > strs.length) {
      return
    }

    res = math.max(res, path.length)

    for (i <- startIndex until strs.length) {

      var (zero, one) = test(strs(i))

      // 如果0的个数小于m，1的个数小于n，则可以回溯
      if (zero <= m && one <= n) {
        path.append(strs(i))
        travsel(strs, path, m - zero, n - one, i + 1)
        path.remove(path.length - 1)
      }
    }
  }

  def findMaxForm(strs: Array[String], m: Int, n: Int): Int = {
    res = Int.MinValue
    var path = mutable.ArrayBuffer[String]()
    travsel(strs, path, m, n, 0)
    res
  }
}
​

Rust

impl Solution {
    pub fn find_max_form(strs: Vec<String>, m: i32, n: i32) -> i32 {
        let (m, n) = (m as usize, n as usize);
        let mut dp = vec![vec![0; n + 1]; m + 1];
        for s in strs {
            let (mut one_num, mut zero_num) = (0, 0);
            for c in s.chars() {
                match c {
                    '0' => zero_num += 1,
                    '1' => one_num += 1,
                    _ => (),
                }
            }
            for i in (zero_num..=m).rev() {
                for j in (one_num..=n).rev() {
                    dp[i][j] = dp[i][j].max(dp[i - zero_num][j - one_num] + 1);
                }
            }
        }
        dp[m][n]
    }
}
​

C

#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))

int findMaxForm(char** strs, int strsSize, int m, int n) {
    int dp[m + 1][n + 1];
    memset(dp, 0, sizeof (int ) * (m + 1) * (n + 1));
    for(int i = 0; i < strsSize; i++){
        // 统计0和1的数量
        int count0 = 0;
        int count1 = 0;
        char *str = strs[i];
        while (*str != '\0'){
            if(*str == '0'){
                count0++;
            } else{
                count1++;
            }
            str++;
        }
        for(int j = m; j >= count0; j--){
            for(int k = n; k >= count1; k--){
                dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j - count0][k - count1] + 1);
            }
        }
    }
    return dp[m][n];
}
​

C#

public class Solution
{
    public int FindMaxForm(string[] strs, int m, int n)
    {
        int[,] dp = new int[m + 1, n + 1];
        foreach (string str in strs)
        {
            int zero = 0, one = 0;
            foreach (char c in str)
            {
                if (c == '0') zero++;
                else one++;
            }
            for (int i = m; i >= zero; i--)
            {
                for (int j = n; j >= one; j--)
                {
                    dp[i, j] = Math.Max(dp[i, j], dp[i - zero, j - one] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m, n];
    }
}
​