2-简单图论

图结构数据

注：本节大部分内容（包括图片）来源于"Chapter 2 - Foundations of Graphs, Deep Learning on Graphs"，我们做了翻译与重新排版，并增加了一些细节内容。

一、图的表示

定义一（图）：

• 一个图被记为\mathcal{G}=\{\mathcal{V}, \mathcal{E}\}，其中 \mathcal{V}=\left\{v_{1}, \ldots, v_{N}\right\}是数量为N=|\mathcal{V}| 的节点的集合， \mathcal{E}=\left\{e_{1}, \ldots, e_{M}\right\} 是数量为 M 的边的集合。
• 图用节点表示实体（entities ），用边表示实体间的关系（relations）。
• 节点和边的信息可以是类别型的（categorical），类别型数据的取值只能是哪一类别。一般称类别型的信息为标签（label）。
• 节点和边的信息可以是数值型的（numeric），数值型数据的取值范围为实数。一般称数值型的信息为属性（attribute）。
• 在图的计算任务中，我们认为，节点一定含有信息（至少含有节点的度的信息），边可能含有信息。

定义二（图的邻接矩阵）：

• 给定一个图\mathcal{G}=\{\mathcal{V}, \mathcal{E}\}，其对应的邻接矩阵被记为\mathbf{A} \in\{0,1\}^{N \times N}。\mathbf{A}_{i, j}=1表示存在从节点v_i到v_j的边，反之表示不存在从节点v_i到v_j的边。

• 在无向图中，从节点v_i到v_j的边存在，意味着从节点v_j到v_i的边也存在。因而无向图的邻接矩阵是对称的。

• 在无权图中，各条边的权重被认为是等价的，即认为各条边的权重为1。

• 对于有权图，其对应的邻接矩阵通常被记为\mathbf{W} \in \mathbb{R}^{N \times N}，其中\mathbf{W}_{i, j}=w_{ij}表示从节点v_i到v_j的边的权重。若边不存在时，边的权重为0。

  一个无向无权图的例子：

  

  其邻接矩阵为：

  \mathbf{A}=\left(\begin{array}{lllll} 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right)

二、图的属性

定义三（节点的度，degree）：

• 对于有向有权图，节点v_i的出度（out degree）等于从v_i出发的边的权重之和，节点v_i的入度（in degree）等于从连向v_i的边的权重之和。
• 无向图是有向图的特殊情况，节点的出度与入度相等。
• 无权图是有权图的特殊情况，各边的权重为1，那么节点v_i的出度（out degree）等于从v_i出发的边的数量，节点v_i的入度（in degree）等于从连向v_i的边的数量。
• 节点v_i的度记为d(v_i)，入度记为d_{in}(v_i)，出度记为d_{out}(v_i)。

定义四（邻接节点，neighbors）：

• 节点v_i的邻接节点为与节点v_i直接相连的节点，其被记为**\mathcal{N(v_i)}**。
• **节点v_i的k跳远的邻接节点（neighbors with k-hop）**指的是到节点v_i要走k步的节点（一个节点的2跳远的邻接节点包含了自身）。

定义五（行走，walk）：

• walk(v_1, v_2) = (v_1, e_6,e_5,e_4,e_1,v_2)，这是一次“行走”，它是一次从节点v_1出发，依次经过边e_6,e_5,e_4,e_1，最终到达节点v_2的“行走”。
• 下图所示为walk(v_1, v_2) = (v_1, e_6,e_5,e_4,e_1,v_2)，其中红色数字标识了边的访问序号。
• 在“行走”中，节点是允许重复的。

定理六：

• 有一图，其邻接矩阵为 \mathbf{A}, \mathbf{A}^{n}为邻接矩阵的n次方，那么\mathbf{A}^{n}[i,j]等于从节点v_i到节点v_j的长度为n的行走的个数。（也就是，以节点v_i为起点，节点v_j为终点，长度为n的节点访问方案的数量，节点访问中可以兜圈子重复访问一些节点）

定义七（路径，path）：

• “路径”是节点不可重复的“行走”。

定义八（子图，subgraph）：

• 有一图\mathcal{G}=\{\mathcal{V}, \mathcal{E}\}，另有一图\mathcal{G}^{\prime}=\{\mathcal{V}^{\prime}, \mathcal{E}^{\prime}\}，其中\mathcal{V}^{\prime} \in \mathcal{V}，\mathcal{E}^{\prime} \in \mathcal{E}并且\mathcal{V}^{\prime}不包含\mathcal{E}^{\prime}中未出现过的节点，那么\mathcal{G}^{\prime}是\mathcal{G}的子图。

定义九（连通分量，connected component）：

• 给定图\mathcal{G}^{\prime}=\{\mathcal{V}^{\prime}, \mathcal{E}^{\prime}\}是图\mathcal{G}=\{\mathcal{V}, \mathcal{E}\}的子图。记属于图\mathcal{G}但不属于\mathcal{G}^{\prime}图的节点集合记为\mathcal{V}/\mathcal{V}^{\prime} 。如果属于\mathcal{V}^{\prime}的任意节点对之间存在至少一条路径，但不存在一条边连接属于\mathcal{V}^{\prime}的节点与属于\mathcal{V}/\mathcal{V}^{\prime}的节点，那么图\mathcal{G}^{\prime}是图\mathcal{G}的连通分量。

  

  左右两边子图都是整图的连通分量。

定义十（连通图，connected graph）：

• 当一个图只包含一个连通分量，即其自身，那么该图是一个连通图。

定义十一（最短路径，shortest path）：

• v_{s}, v_{t} \in \mathcal{V} 是图\mathcal{G}=\{\mathcal{V}, \mathcal{E}\}上的一对节点，节点对v_{s}, v_{t} \in \mathcal{V}之间所有路径的集合记为\mathcal{P}_{\mathrm{st}}。节点对v_{s}, v_{t}之间的最短路径p_{\mathrm{s} t}^{\mathrm{sp}}为\mathcal{P}_{\mathrm{st}}中长度最短的一条路径，其形式化定义为
  _{\mathrm{s} t}^{\mathrm{sp}}=\arg \min _{p \in \mathcal{P}_{\mathrm{st}}}|p|
  其中，p表示\mathcal{P}_{\mathrm{st}}中的一条路径，|p|是路径p的长度。

定义十二（直径，diameter）：

• 给定一个连通图\mathcal{G}=\{\mathcal{V}, \mathcal{E}\}，其直径为其所有节点对之间的最短路径的最大值，形式化定义为

定义十三（拉普拉斯矩阵，Laplacian Matrix）：

• 给定一个图\mathcal{G}=\{\mathcal{V}, \mathcal{E}\}，其邻接矩阵为A，其拉普拉斯矩阵定义为\mathbf{L=D-A}，其中\mathbf{D=diag(d(v_1), \cdots, d(v_N))}。

定义十四（对称归一化的拉普拉斯矩阵，Symmetric normalized Laplacian）：

• 给定一个图\mathcal{G}=\{\mathcal{V}, \mathcal{E}\}，其邻接矩阵为A，其规范化的拉普拉斯矩阵定义为

三、图的种类

• 同质图（Homogeneous Graph）：只有一种类型的节点和一种类型的边的图。
• 异质图（Heterogeneous Graph）：存在多种类型的节点和多种类型的边的图。
  
• 二部图（Bipartite Graphs）：节点分为两类，只有不同类的节点之间存在边。
  

四、图结构数据上的机器学习

1. 节点预测：预测节点的类别或某类属性的取值
   1. 例子：对是否是潜在客户分类、对游戏玩家的消费能力做预测
2. 边预测：预测两个节点间是否存在链接
   1. 例子：Knowledge graph completion、好友推荐、商品推荐
3. 图的预测：对不同的图进行分类或预测图的属性
   1. 例子：分子属性预测
4. 节点聚类：检测节点是否形成一个社区
   1. 例子：社交圈检测
5. 其他任务
   1. 图生成：例如药物发现
   2. 图演变：例如物理模拟
   3. ……

五、应用神经网络于图面临的挑战

在学习了简单的图论知识，我们再来回顾应用神经网络于图面临的挑战。

过去的深度学习应用中，我们主要接触的数据形式主要是这四种：矩阵、张量、序列（sequence）和时间序列（time series），它们都是规则的结构化的数据。然而图数据是非规则的非结构化的，它具有以下的特点：

1. 任意的大小和复杂的拓扑结构；
2. 没有固定的节点排序或参考点；
3. 通常是动态的，并具有多模态的特征；
4. 图的信息并非只蕴含在节点信息和边的信息中，图的信息还包括了图的拓扑结构。

以往的深度学习技术是为规则且结构化的数据设计的，无法直接用于图数据。应用于图数据的神经网络，要求

• 适用于不同度的节点；
• 节点表征的计算与邻接节点的排序无关；
• 不但能够根据节点信息、邻接节点的信息和边的信息计算节点表征，还能根据图拓扑结构计算节点表征。下面的图片展示了一个需要根据图拓扑结构计算节点表征的例子。图片中展示了两个图，它们同样有俩黄、俩蓝、俩绿，共6个节点，因此它们的节点信息相同；假设边两端节点的信息为边的信息，那么这两个图有一样的边，即它们的边信息相同。但这两个图是不一样的图，它们的拓扑结构不一样。

六、结语

在此篇文章中，我们学习了简单的图论知识。对于学习此次组队学习后续的内容，掌握这些图论知识已经足够。如果有小伙伴希望掌握更多的图论知识可以参阅参考文献“Chapter 2 - Foundations of Graphs, Deep Learning on Graphs”。

参考资料

• Chapter 2 - Foundations of Graphs, Deep Learning on Graphs