2.1 位矢、速度与加速度的矢量描述

2.1 位矢、速度与加速度的矢量描述

本节摘要：运动学的主干是一条求导链——位矢对时间求导得速度，再求导得加速度。本节把这条链立起来，讲清平均量与瞬时量的差别，并用抛体运动的完整数值演练展示矢量描述如何一步不落地落地。

从账本说起：位置这本账要记三笔

上一章把对象和刻度备齐，本章开始记账，这一节是账本的第一页：位置、快慢、变化率。它向上承接第一章"定对象"的工作——位矢就是对被选定的那个质点贴的标签；向下直通全册——第三章平衡方程里的力是矢量，第四章方程左端的加速度来自本节的求导链，矢量描述的规矩（可加、可投影、方向即信息）从这一节起全程有效。

为什么坚持用矢量而不是三个孤立的标量？因为方向本身就是运动信息。两辆时速都是六十公里的车，一辆向北一辆向东，位移相同吗？平均速度相同吗？显然不同。标量记账会把方向信息全部抹掉，矢量记账则把"往哪走、拐多急"原样入账。运动学的专业性，一半体现在"该用矢量的时候绝不用标量糊弄"。

一、四个定义与一条求导链

位矢 r：从参考原点指向质点当前位置的有向线段，是时刻 t 的函数。位移 Δr：末位矢减初位矢——注意它不是路程，路径绕一圈回到原地，位移为零而路程是一整圈周长。平均速度 Δr/Δt 与瞬时速度 v = dr/dt：前者粗（取决于时间间隔取多长），后者细（是平均速度在间隔趋零时的极限）。加速度 a = dv/dt：速度的变化率，同样区分平均与瞬时。

这条链的分量形式在直角坐标系里最清爽：r = (x, y, z)，则 v = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)，a = (d²x/dt², d²y/dt², d²z/dt²)。三个分量彼此独立——抛体运动的水平匀速与竖直匀加速互不干扰，正是这种独立性的最好例证。反过来已知加速度求速度与位置，则是积分问题，每个积分常数需要一个初始条件来定，这就是第四章解运动微分方程时"两个二阶方程要四个初始条件"的根源。

一个必须趁早纠正的直觉误区：速度为零时加速度不一定为零。竖直上抛的物体在最高点速度为零，但加速度仍是 g——那一瞬间速度在穿过零点，变化率丝毫未减。平均量与瞬时量的差别，最高点是最好的教具。

二、数值演算：把抛体运动整台解剖一遍

以 v0 = 20 m/s、仰角四十五度抛出的石子为例，重力加速度取 9.8 m/s²。矢量描述的好处是水平、竖直两本账分开记、互不打扰：水平账是匀速直线，竖直账是匀加速。飞行时间由竖直账决定，射程由两本账共同决定，最大高度只查竖直账——每个问题的答案都能指认出它出自哪本账。

# 抛体运动三问：射程、全飞行时间、最高点高度
import math
v0, ang, g = 20.0, 45.0, 9.8
vx = v0 * math.cos(math.radians(ang))   # 水平分量 恒定
vy = v0 * math.sin(math.radians(ang))   # 竖直初分量
print("vx =", vx, "m/s")                # 14.142135623730951
print("vy =", vy, "m/s")                # 14.142135623730951

t_flight = 2 * vy / g                   # 竖直账：落回原高度
H        = vy**2 / (2 * g)              # 竖直账：到顶
R        = vx * t_flight                # 水平账：射程
print("飞行时间 =", t_flight, "s")       # 2.8860682400855545
print("最大高度 =", H, "m")              # 10.20408163265306
print("射程     =", R, "m")              # 40.816326530612244
# 检验：R = v0^2 * sin(2*45度) / g = 400/9.8，与逐笔计算一致
print("公式核对 R =", v0**2 * math.sin(math.radians(90)) / g, "m")  # 40.816...
​

第二段代码换一个方向演示求导链的正用与逆用：已知位矢函数 r(t)，逐项求导立得速度与加速度；再在几个时刻取值，看清"速度变化、加速度恒定"如何在数字上呈现。

# 已知 r(t) = (3t^2, 2t) 米，求 v(t) 与 a(t) 并在若干时刻取值
# vx = d(3t^2)/dt = 6t, vy = d(2t)/dt = 2
# ax = 6, ay = 0 —— 加速度恒沿 x 方向
def state(t):
    return (3*t*t, 2*t), (6*t, 2.0), (6.0, 0.0)

for t in [0.0, 1.0, 2.0]:
    r, v, a = state(t)
    print(f"t={t}: r={r}, v={v}, a={a}")
# 输出：
# t=0.0: r=(0, 0), v=(0, 2.0), a=(6.0, 0.0)
# t=1.0: r=(3, 2), v=(6, 2.0), a=(6.0, 0.0)
# t=2.0: r=(12, 4), v=(12, 2.0), a=(6.0, 0.0)
# 速度 y 分量纹丝不动，x 分量匀速增长——分量独立性一目了然
​

读这份输出时留意一件事：虽然加速度恒定，速度的大小与方向都在变（x 分量从零涨到十二）。这正是矢量记账优于标量记账的地方——"速度大小没变所以没加速"这类错觉在分量表面前无处藏身。

这本账还有一个工程上的直接用户：电梯与起重机的启制动设计。轿厢以一米每平方秒加速上升，任意时刻的速度与位置由求导链的逆过程（积分）给出；乘客感知到的"超重"来自加速度分量而不是速度本身——速度再高，匀速段里体重秤读数纹丝不动。把 r、v、a 三本账分开记，"超重只发生在加减速段"就从经验升级成可算的结论：起制动各几秒、峰值加速度多少、钢缆在该时刻要多扛几成载荷，全是本节公式的代数运算。

三、平均量、瞬时量与记账纪律

实际测量里拿到的几乎全是平均量：雷达测速给的是一小段时间的平均，视频逐帧分析给的也是帧间隔上的平均。要让平均量逼近瞬时量，靠的是缩短间隔——帧率翻倍，平均速度就更接近瞬时值。这条纪律在第八章数值解法里会以另一种面目出现：步长减半，欧拉法的误差也减半，机理同源。

⚠️ 常见坑：把"速度为零"说成"加速度为零"。最高点的上抛物、刚启动瞬间的活塞、单摆的两个折返点，都是速度过零而加速度满格的典型现场。判断加速度永远去看速度的变化率，不要看速度本身的数值。

要点复盘：

• 一条求导链走天下：r 到 v 到 a，逐次求导；逆着走是积分，每个常数吃一个初始条件；
• 位移与路程是两本账：绕圈归位位移为零，路程为周长，混淆两者是低级但高发的事故；
• 分量独立性：直角坐标里三个方向各记各账，抛体问题因此可以拆成两个一维问题；
• 平均量靠缩短间隔逼近瞬时量：这条测量纪律与后续数值方法的步长纪律同宗同源。

本节把直线与一般运动的矢量语言立好。下一节专门对付"拐弯"：轨迹已知时，换用自然坐标系，把加速度劈成管快慢的切向分量与管拐弯的法向分量，圆周与弯道问题立刻清爽。