2.3 刚体运动与相对运动

2.3 刚体运动与相对运动

本节摘要：描述对象从质点换成刚体，账本从线量换成角量，角量乘半径即可兑换回线量；观察者换成运动的参考系，速度按矢量合成。本节讲清刚体平动与转动的描述规则、角量与线量的换算，以及速度合成定理在渡河、传送带类问题上的用法，为第四章刚体动力学与第七章非惯性系埋好桩。

换对象、换观察者：描述语言的两级升级

2.1 与 2.2 节都在描述一个点，本节两级升级。第一级换对象：刚体不能再用一个点代表——车身转了三十度，车头车尾的位移截然不同，于是引入角量（角位置、角速度、角加速度）。第二级换观察者：站在岸边与站在船上的人看同一艘快艇，速度读数不同，于是引入相对运动的速度合成。两级升级都直接服务后续章节：角量账本是第四章刚体定轴转动方程的左端项，速度合成是第七章离心力与科里奥利力的整个前提。

先立一个刚体运动的分类框架：平动——刚体上任意一条假想直线始终保持方向不变，此刻刚体上所有点的位移、速度、加速度完全相同，一个点就能代表全车；定轴转动——各点绕同一固定轴画圆，描述它只需要一个角度；平面运动——平动加转动的叠加，车轮滚着走就是典型，第四章会用基点法与瞬心法把它拆开处理。本章只把平动与定轴转动说透，平面运动留到有动力学工具之后再拆。

一、角量与线量：同一件事的两本账

定轴转动只用角度 θ 就能定位，仿照 2.1 节的求导链定义角速度 ω = dθ/dt、角加速度 α = dω/dt。刚体上离轴 r 远的点走的是半径 r 的圆，弧长 s = rθ，逐次求导立刻得到换算三连：线速度 v = rω，切向加速度 a_t = rα，法向加速度 a_n = rω²（即 v²/r 的另一种写法，与 2.2 节的结论严丝合缝）。这三条换算是"转速表读数"与"车速"之间的官方汇率——车轮转多快、飞轮边缘线速度多大、离心机样本承受多大加速度，全靠它们换算。

用换算三连解剖一个真实场景：直径零点六米的车轮，车速二十米每秒时角速度是多少？若该车在五秒内从静止匀加速到这个车速，车轮的角加速度又是多少？

# 车轮的角量账本：由车速反推角速度与角加速度
import math
d, r = 0.6, 0.3        # 车轮直径与半径 m
v  = 20.0              # 车速 m/s（轮缘线速度，纯滚动时等于轴心速度）
om = v / r             # 角速度
print("角速度 om =", om, "rad/s")                # 66.66666666666667
print("转速 =", om * 60 / (2 * math.pi), "rpm")  # 636.6197723675814
t = 5.0                                        # 五秒内匀加速到车速
al = om / t
print("角加速度 al =", al, "rad/s^2")            # 13.333333333333334
# 轮缘一点的切向与法向加速度（半径处）
print("轮缘切向加速度 =", al * r, "m/s^2")        # 4.0
print("轮缘法向加速度 =", om**2 * r, "m/s^2")     # 1333.33
# 轮缘法向加速度是重力加速度的百余倍——超速旋转的飞轮为何危险，数字说话
print("法向加速度与重力之比 =", om**2 * r / 9.8)  # 136.05
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输出里最扎眼的是最后一行：轮缘上一点虽随车轮"匀速"转着，法向加速度却达到重力的一百三十余倍——材料内部要靠内力时刻拽着每个微元拐弯，飞轮爆裂事故的力学根源就记在这笔账上。这道账还顺手演示了纯滚动约束：车轮与路面接触点瞬时速度为零，轴心速度等于 rω，第四章计算滚动动能时直接引用。

二、速度合成：换一个观察者重读同一运动

速度不是物体的私有财产，而是物体与参考系的共同产物。设 A 相对 B 的速度为 v_AB、B 相对 C 的速度为 v_BC，则 A 相对 C 的速度按下标串联相加：v_AC = v_AB + v_BC（下标首尾相接即可加）。这条合成规则在平动参考系之间精确成立，解题时把三个速度的下标摆整齐，矢量三角形自己浮出来。

经典病例是渡河方案选型：河宽一百米，水流三米每秒，船相对水四米每秒。方案一，船头垂直河岸开——渡河最快，但被水冲下游；方案二，船头偏向上游——渡河变慢，但落点正对岸。两个方案各算一遍，工程取舍立刻显形。

# 渡河两案：时间最短 vs 位移最短
W, vw, vb = 100.0, 3.0, 4.0    # 河宽 m，水速，船对水速率 m/s

# 方案一：船头垂直河岸，合速度斜向下游
t1 = W / vb                     # 渡河时间只由垂直分量决定
drift = vw * t1                 # 被冲下漂的距离
print(f"方案一：t={t1:.2f} s，向下游漂出 {drift:.1f} m")   # 25.00 s, 75.0 m

# 方案二：船头偏上游，使合速度垂直河岸
# 条件：vb 的上游分量抵消水速，即 vb*cos(th)=vw
import math
costh = vw / vb
th   = math.acos(costh)         # 偏上游角
v_cross = vb * math.sin(th)     # 垂直河岸的合速度分量
t2 = W / v_cross
print(f"偏上游角 = {math.degrees(th):.2f} 度")            # 41.41 度
print(f"方案二：t={t2:.2f} s，冲漂 0 m")                  # 37.80 s
# 快了二十五秒还是正对岸，取决于你在赶什么——参数工程化后取舍一目了然
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下标串联规则看着朴素，边界却必须记牢：它只在平动参考系之间成立。参考系若有转动，还得补一项与角速度挂钩的修正项——这正是第七章科里奥利加速度的入口。传送带、自动扶梯、飞机空速与地速之别，全是这套规则的直接应用。

三、记账纪律与常见误判

⚠️ 常见坑：把"船相对水四米每秒"当成"船相对岸四米每秒"直接套公式。相对量三要素——谁相对谁——缺一个字，答案就换一个样；落笔前先把下标写全，这是相对运动问题的第一纪律。

要点复盘：

• 刚体运动三分：平动一个点代表，定轴转动一个角度代表，平面运动两者叠加；
• 换算三连是官方汇率：v = rω、a_t = rα、a_n = rω²，转速与线速由此互通；
• 轮缘账目藏事故根源：匀速旋转体的法向加速度可达重力的上百倍，飞轮与砂轮的安全转速由此设定；
• 速度按矢量合成、下标串联：平动系之间精确成立，转动系要在第七章补课。

描述工具至此备齐。下一章进入静力学：物体不动时，2.2 节那两笔加速度账双双归零，方程退化成平衡方程——解剖台上最见功力的约束反力分析，就要开台了。