7.2 流体静力学与伯努利方程

7.2 流体静力学与伯努利方程

本节摘要：流体是"无限多质点"的连续介质，逐点标力不现实，解剖动作要换装：先取一块流体元当隔离体，静水时立平衡账得压强随深度累加；流动时改立能量账，压强、速度、高度三项在跷跷板两端此消彼长——这就是伯努利方程。本节用水坝、吃水与文丘里管三台手术演示两本账的用法。

换一块隔离体：流体元

前几章的隔离体都是棱角分明的刚体，流体的解剖对象换成一小块流体元。静水里的流体元只受两样东西：往下的重力与四周往内的压强。水平方向压强自平，竖直方向一立平衡账，压强随深度线性累加的结论立刻到手——每往下走一米，每平方米多扛九千八百一十帕。流动起来后平衡账换能量账：对一段流管用动能定理，压强做功、重力做功与动能变化三项对冲，压强加动能密度加重力势能密度沿管守恒。你会发现伯努利方程就是第四章动能定理换了件流体外衣，没有任何新物理。

手术一：静水压强、水坝与吃水

静水账的三笔常用支出：坝底压强与坝面总推力、浮体的吃水深度。水坝的推力算的是三角形压强分布的合力——压强随深度从零长到 ρgh，合力等于三角形面积乘坝宽，作用点在三分之一水深处，所以坝的剖面总是底比厚顶要厚。

# 手术一：静水压强 p = p0 + rho*g*h，坝面总推力与浮体吃水
import math
rho, g, h = 1000.0, 9.8, 10.0
p_gauge = rho * g * h                     # 表压（不含大气压，大气压两面抵消）
print("10 m 深处表压 =", p_gauge, "Pa")   # 98000.0
F_per_m = 0.5 * rho * g * h * h           # 每米坝宽的推力（三角形分布）
print("每米坝宽推力 =", F_per_m/1000, "kN")  # 490.0
print("合力作用点深度 =", 2*h/3, "m")     # 6.6666...（自水面算 2h/3，自底算 h/3）
# 浮体吃水：木块密度 600，浮力等于重力 → 吃水比例 = 密度比
rho_wood = 600.0
draft_frac = rho_wood / rho
print("木块吃水比例 =", draft_frac)       # 0.6
h_block = 0.5
submerged = draft_frac * h_block
print("0.5 m 厚木块水下部分 =", submerged, "m")   # 0.3
# 冰山一角：冰密度 917 → 水下占 91.7%
print("冰山水下比例 =", 917.0/rho)        # 0.917
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吃水那两行是阿基米德原理的代数化：浮着就是浮力与重力打平，排开的水重等于自重，吃水比例干脆就是密度之比。冰山水下九成、水上不足一成，"冰山一角"在这行输出里是字面意义。

手术二：伯努利方程与文丘里管

流动账的示范病例是文丘里管：管道先收窄再放开，收窄处流速猛增、压强应声下落，两侧压差可以从水柱高度直接读出——这就是流量计的工作原理。再附赠一炮：水箱侧壁开孔，孔口出流速度等于自由落体同一深度的速度（托里拆利），伯努利方程一步给出。

# 手术二：伯努利 p + 0.5*rho*v^2 + rho*g*z 沿流管守恒
import math
rho = 1000.0
# 文丘里管：直径 160 mm 收缩到 80 mm，流量 0.01 m^3/s
d1, d2, Q = 0.16, 0.08, 0.01
A1, A2 = math.pi * d1**2 / 4, math.pi * d2**2 / 4
v1, v2 = Q / A1, Q / A2
print("v1 =", round(v1, 4), "m/s   v2 =", round(v2, 4), "m/s")   # 0.4974  1.9894
dp = 0.5 * rho * (v2**2 - v1**2)
print("压强跌落 =", round(dp, 1), "Pa")                  # 1855.2
print("折合水柱高度 =", round(dp / (rho * g), 4), "m")   # 0.1893
# 连续性对账：A1*v1 应等于 A2*v2 = Q
print("A1*v1 =", round(A1*v1, 6), "  A2*v2 =", round(A2*v2, 6), "m^3/s")
# 托里拆利：水下 1.2 m 开孔，出流速度
h_hole = 1.2
v_out = math.sqrt(2 * g * h_hole)
print("孔口出流速度 =", round(v_out, 4), "m/s")          # 4.8497
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压差一千八百多帕，折成水柱不到二十厘米——流量计读的就是这截水柱。连续性对账一行里两个乘积逐位相等，"管子里流进来多少就流出去多少"的守恒式，正是伯努利之外的第二本必查账：两条账本一起用，流量、管径、压差三个量知二推一。

⚠️ 常见坑：把伯努利方程用在有黏性损耗的管段。方程默认理想流体沿同一流线，真实管道里摩擦头一路偷走能量——长距离输水必须补上水头损失项，否则算出的压强永远偏乐观。

浮力与浮体平衡：把静水账用到船上

浮力是静水压强账的天然推论：物体底面压强大于顶面，差值乘面积正好等于排开液体的重量——压强分布在闭合面上的合力，就是阿基米德原理的全部证明。浮体的平衡还有一层讲究：浮心（排开水的形心）必须高于重心，扰动才会被扶正力矩拉回，船的稳定性设计全在调这两点的相对高低。数值上验一遍方形木箱的吃水与扶正条件。

# 浮体核算：木箱吃水与浮心高度
import math
rho_w, rho_box = 1000.0, 550.0        # 水与木箱密度
H = 0.8                                # 木箱高 m
draft = rho_box / rho_w * H            # 吃水深度
print("吃水 =", draft, "m")            # 0.44
fb = draft / 2                         # 浮心：水下部分的形心
print("浮心高度 =", fb, "m")           # 0.22
print("水下占比 =", round(draft / H, 4))   # 0.55
# 扶正粗判：重心在浮心之下（本例重心在箱体几何中心 0.4 m 处，浮心 0.22 m）
print("重心 0.4 m 高于浮心 0.22 m —— 需靠箱宽提供稳性半径 BM = I/V")
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吃水零点四四米、浮心零点二二米，重心反而浮在浮心之上——这箱货"头重脚轻"，直着放稳不稳要看箱宽给的稳性半径够不够。真实船舶把重型机械压在底层，目的就是让重心落回浮心之下，一句话的稳性学，验算只要两行。

要点复盘：

• 隔离体换成流体元：静水立平衡账得压强随深度线性增长，流动立能量账得伯努利；
• 坝推力是三角形面积：合力每米宽四百九十千牛（水深十米），作用点在三分之二水深处，坝底加厚由此而来；
• 吃水比例即密度比：木块六成、冰山九成二在水下，阿基米德原理一行代数收编；
• 流速与压强跷跷板：文丘里管收窄处增速降压，压差折水柱即是流量计的读数来源。

水是静中带流，地球自转是"舞台自己在动"。下一节把参考系本身请上解剖台：旋转系里的两笔惯性力账。