1.2 几何光学坐标系

1.2 几何光学坐标系

本节摘要：几何光学把光场投影成光线——波前的法线。适用条件是系统特征尺度远大于波长。费马原理要求光程取驻值，由此得到反射定律与斯涅尔折射定律。近轴区用位置-方向坐标和光焦度描述元件，符号约定必须先钉死。全反射是折射在临界角之外的几何版本，也是光纤导光的起点。

你能学到什么

阅读完本节，你应当能够：

1. 用「波长相对孔径」给出几何光学能否用的判据，并举一个失效例子
2. 从费马原理推出反射角等于入射角、以及 (n\sin\theta) 连续
3. 在近轴约定下写出薄透镜的物像公式，标明物距、像距的正负
4. 解释光程 (nL) 为何比几何路程更根本
5. 算出光疏到光密界面的临界角，并说明光纤数值孔径与它的关系

一、光线是投影，不是粒子

把阳光看成一束「直射的东西」，对盖房子够了。显微镜物镜的数值孔径到了 1.4，缝宽到了几个波长，这套话就会破产：亮斑有旁瓣，焦斑有最小尺寸。几何光学的身份是：在波长可以当成无穷小的极限下，用波前法线代替整个场。法线叫光线，波前叫等相位面。光线弯曲，其实是等相位面在不均匀折射率里被拉歪。

判据可以写得很朴素。设特征长度 (a)（孔径、曲率半径、薄膜厚度里最大的那个几何量），真空波长 (\lambda)。若 (a/\lambda) 达到几十到几百，并且你不关心波长量级的细节，光线模型通常够用。相机镜头口径毫米级、可见光微米级以下，比值上千，几何光学是主语言。光盘坑点、光刻图形、单模光纤纤芯，比值掉到个位数，必须把相位请回来。

尺度尺（经验，不是法律）：
  建筑采光、眼镜片     a/λ ~ 10^6    光线足够
  相机镜头、望远镜     a/λ ~ 10^3-10^4  光线为主，衍射定分辨率
  显微镜高倍物镜       a/λ ~ 10^2      必须同时管衍射
  波导、光栅、超构表面 a/λ ~ 1-10     几何光学基本失效
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二、费马原理：光程取驻值

光程定义为 (\int n,\mathrm{d}s)。费马原理说：实际路径使光程取驻值——极小、极大或拐点都可能，走廊里的反射往往是极小，某些镜像系统会出现极大。驻值条件对变分给出两条本地定律：

• 均匀介质中光线走直线
• 界面上，入射光线、法线、反射/折射光线共面；反射角等于入射角；折射满足 (n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2)

斯涅尔定律里真正守恒的是沿界面的波矢分量。这和电磁边界条件「切向 (k) 连续」是同一句话。几何光学没有发明新物理，它把边界条件翻译成角度语言。

图：费马路径与界面守恒量

图注：界面上守恒的是沿界面的光学方向余弦。临界角出现在没有实折射解时，全反射仍留下倏逝场。

当光从光密到光疏，(n_1>n_2)，(\sin\theta_2=(n_1/n_2)\sin\theta_1) 可能大于 1。没有实折射角，能量全部反射，叫全内反射。临界角 (\theta_c=\arcsin(n_2/n_1))。玻璃到空气大约 (42^\circ) 量级（(n=1.5) 时 (\theta_c\approx 41.8^\circ)）。光纤把纤芯折射率做得比包层高一截，大角度光线在界面上全反射，能量被管道约束。数值孔径 (\mathrm{NA}=\sqrt{n_\mathrm{core}^2-n_\mathrm{clad}^2}) 就是「还能被全反射收住的最大入射角正弦」，在空气中近似等于可接收锥的半角正弦。

全反射并非界面上什么都没有。电磁场在光疏一侧以指数衰减伸进去，叫倏逝场，穿透深度大约波长量级。这就是为什么两根光纤贴太近会漏光（倏逝耦合），也是衰减全反射传感的物理。几何光学宣布「全反射」，波动光学补上一句「还剩一层皮」。

三、近轴坐标：高度、角度、光焦度

工程计算很少一路用斯涅尔定律追百万条光线（那是光学设计软件的事）。近轴区 (\sin\theta\approx\theta)，球面可以换成光焦度。一条光线用两个数描述：离轴高度 (h)，与光轴夹角 (u)（弧度）。经过折射面或薄透镜：

[
n'u' = nu - h\phi,\quad \phi=\frac{n'-n}{R}\ \text{（单球面）}
]

薄透镜 (\phi=(n-1)(1/R_1-1/R_2))，物像公式在笛卡尔符号约定下常写成

[
\frac{n'}{l'}-\frac{n}{l}=\phi
]

空气中就是熟悉的 (1/s'+1/s=1/f)——但只有在你规定物距、像距的正负之后，这式子才有意义。教材之间符号约定并不统一。我倾向「光从左往右；物在透镜左为负物距或按高斯约定取正」之前，先在笔记第一页写死自己的约定，全教程保持同一套。换软件时先核对软件手册的符号，否则球差符号都会反。

矩阵光学把一串面写成 (2\times 2) 传输矩阵，乘法顺序与光线行进顺序相反（先遇到的元件在右边）。这是第 2 章追迹的代数骨架。现在只要养成习惯：每个面先问折射率跳了没有、曲率半径多少、间隔多少，再问像在哪。

# 概念：薄透镜近轴，空气中，高斯约定物距为正
f = 50.0      # mm
s = 200.0     # 物距 mm
s_prime = 1 / (1/f - 1/s)
m = - s_prime / s
# s_prime = 66.67 mm，倒立实像，横向放大率约 -0.33
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⚠️ 常见坑：把「光走最短路径」理解成几何路程最短。真空里二者一致；有玻璃时，绕远但少穿玻璃，光程可能更短。渐变折射率光纤里，轴上路径几何最短，但边缘路径虽然弯，光程可以与轴上相等——这正是「自聚焦」的设计目标。
💡 关键直觉：光线坐标是 ({h,u})，相位坐标是光程。几何成像只保证 (h) 对上；干涉还要求光程对上。相机「成像清晰」和干涉仪「条纹稳定」用的不是同一根轴。

非均匀介质里光线满足射线方程 (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}(n\hat{t})=\nabla n)。大气折射率随高度变，地平线附近的星星会抬高一点，这是天文视宁与海市蜃楼的几何语言。梯度折射率透镜（GRIN）把 (\nabla n) 做成径向抛物，光线在棒内走正弦曲线，可以当短焦距物镜用。

问题：反射定律要不要折射率？

反射角等于入射角，式子里不出现 (n)。但光程里反射臂仍是 (nL)，干涉仪扫描反射镜时，位移乘的是所在介质的 (n)。空气 (n\approx 1.0003)，精密测长必须修正；真空腔才真正按几何位移算。

问题：近轴和傍轴是一回事吗？

汉语里常混用。英文 paraxial 指角度、高度都小，(\sin\theta\approx\theta\approx\tan\theta)。有人把「离轴但仍用一次近似」叫傍轴。实务上：视场角超过几度、相对孔径很快，就要怀疑近轴公式，改用有限光线追迹看像差。

四、工程尺度与误用边界

近轴矩阵在纸上漂亮，装进镜筒要面对三个现实：间隔公差、偏心、以及你选用的符号约定和光学设计软件不一致。建议在笔记扉页写死「光从左到右、物方光线角以对光轴的斜率、会聚为正或为负」其中一套，并对照软件手册改一次手算例题。改通了，后面像差符号才不会整章反号。

全反射不只是光纤。双筒望远镜的屋脊棱镜、内窥镜转像、激光泵浦的匀光棒，都在用临界角当管道壁。设计时要给角度留余量：温度改变 (n)、镀膜改变有效临界条件、灰尘破坏倏逝场。几何上「全反射」四个字，波动上仍有穿透深度，贴得太近就会漏。

渐变折射率的射线方程在大气光学里不是小品：天文视宁、海市蜃楼、激光大气传输的弯曲，都是 (\nabla n) 在干活。实验室若用热气流演示干涉条纹扭动，那是光程 (nL) 的现场课，也是几何光线弯曲的同一原因。两套语言同时成立，只是记账不同。

手算一道：(n=1.5) 玻璃到空气，临界角arcsin(1/1.5)约 41.8 度。光纤若芯包差只有 0.01 量级，接收锥会很小，耦合要对准。这比背「光纤靠全反射」五个字更接近工程师。

问题：这一节最容易测错的是什么

符号约定。同一道物像题，高斯约定和笛卡尔约定差一个负号，软件再差一套，三方对打。先用手算薄透镜正物距正像距对一遍软件，再开始追厚组。临界角余量不够：温度、镀膜、污染都会让「理论全反射」漏光。光纤耦合按几何 NA 估好了，模式不匹配仍会有几个分贝进不了纤芯，那是波动账，不是斯涅尔算错。光程和路程混用，在空气里看不出来，一进玻璃补偿板，白光零级就找不着。费马原理取的是驻值，不一定是几何最短，渐变折射率光纤是现成反例。近轴 sinθ≈θ 在视场十几度时已经撒谎，该改有限光线。

一小时对照练习

手算玻璃到空气临界角，再给温度和镀膜各留两度余量，看光纤接收锥还剩多少。用同一套符号约定手算薄透镜物距 200 毫米焦距 50 毫米，核对像距与放大率，然后打开任意光学设计软件做同一道题，专门找符号相反的地方。把光程和路程用空气楔和玻璃补偿板各举一例，说明白光零级为什么必须补玻璃。射线方程在热气流干涉条纹里走一遍：nL 变了，几何光线也弯了，两套账同时成立。近轴失效就改有限光线，不要用更小的字号继续写 sinθ≈θ。

核心回顾

• 投影：光线是等相位面的法线；(a/\lambda) 足够大才允许这个投影
• 原理：费马原理使光程驻定，给出直线、反射定律、斯涅尔定律
• 全反射：没有实折射解时能量返回，临界角由折射率比决定；倏逝场仍在
• 坐标：近轴用高度与角度，元件用光焦度；符号约定必须先写死
• 光程：相位的几何替身是 (nL)，不是单纯路程
• 失效：孔径、薄膜、波导进入波长量级后，必须回到波动描述

下一节看物质如何改写 (n)：色散、吸收、散射与发光，它们决定光线该弯多少、能量还剩多少。

数字与边界再钉一次

近轴角度用弧度。一度约 0.0175，十度已经让 sin 与角本身差出百分之几，镜头边缘视场常常大于这个数，所以有限光线不是可选装饰。光纤数值孔径是接收锥的正弦，不是半角本身；把 0.12 的 NA 当成 0.12 弧度去对向，耦合对准会偏。临界角余量两度，在 n 随温度变 10 的负五次方时，一厘米光程里仍可能从全反射掉到漏。

收束对照

光线是投影。写进笔记的两句话就够：特征尺度相对波长不够大时投影撒谎；光程才是相位替身。临界角、数值孔径、近轴符号，都是这张投影的本地坐标。再往下是第 2 章的成像，不是再背一条反射定律。全反射仍有倏逝场，贴太近会漏，几何四个字没有取消波动那一层皮。