5.1 平面问题与应力函数法
5.1 平面问题与应力函数法
本节摘要：平面应力与平面应变把三维问题降维成可解的二维问题；Airy 应力函数进一步把平衡与相容条件打包，求解化作双调和方程。本节讲解降维规则、应力函数流程与厚壁筒拉梅解，并给出小孔应力集中的可复算判读。
降维：从十五个未知量到一个函数
三维问题十五个未知量联立，平面问题只剩八个（应力、应变各三个，位移两个），应力函数再砍到一个。降维的资格由几何与载荷决定：薄板面内受力（厚度远小于面内尺寸、侧面无载）是平面应力——厚度方向应力为零；长坝、隧道衬砌（轴向远长于断面、轴向变形被约束）是平面应变——厚度方向应变为零。同一块二维区域，两种问题应力场不同：平面应变下厚度方向会冒出正应力 ν 乘面内正应力之和，判读时不能混用公式。
Airy 应力函数 φ 的思路是"打包"：把应力分量写成 φ 的两次偏导组合（σx 等于 φ 对 y 的二阶导，σy 等于 φ 对 x 的二阶导，τxy 等于负的混合二阶导），平衡方程自动满足——打包时已经把平衡装了进去。剩下的相容条件要求 φ 满足双调和方程（拉普拉斯算子作用两次为零）。于是求解流程程序化：挑一个双调和函数、代入应力表达式、用边界条件定待定系数、最后校核全场边界。解析解不是天降公式，是四步流水线的产物。
图：平面问题降维与应力函数打包流程
流水线示范：厚壁筒拉梅解
厚壁筒（内压管道、压力容器、过盈配合轴套）受内压 p，几何与载荷轴对称，应力函数只含半径 r，双调和方程退化成常微分方程，通解是两项幂函数组合，边界条件定系数后得到拉梅解：径向应力与环向应力都是 a²、b²、r 的有理式。4.3 节已经用过它的数值（内壁环向应力 33.3 兆帕一例），这里补上导出逻辑与代码。
# 拉梅解：内压厚壁筒应力分布全扫描 import math a, b, p = 50e-3, 100e-3, 20e6 K2 = (b/a)**2 def stresses(r): sr = -p * a**2 / r**2 * (b**2 - r**2) / (b**2 - a**2) st = p * a**2 / r**2 * (b**2 + r**2) / (b**2 - a**2) return sr, st print("半径比 径向应力 MPa 环向应力 MPa") for frac in (1.0, 1.25, 1.5, 2.0): r = a * frac sr, st = stresses(r) print(f"r/a={frac:4.2f} {sr/1e6:8.1f} {st/1e6:8.1f}") # 等强度设计判读：壁厚加大是否划算 for ratio in (1.5, 2.0, 3.0, 4.0): b2 = a * ratio st_in = p * ((b2/a)**2 + 1) / ((b2/a)**2 - 1) print(f"外径/内径 = {ratio:.1f}：内壁环向应力 = {st_in/1e6:.1f} MPa")
半径比 径向应力 MPa 环向应力 MPa r/a=1.00 -20.0 33.3 r/a=1.25 -9.5 22.2 r/a=1.50 -5.0 16.7 r/a=2.00 -0.0 10.0 外径/内径 = 1.5：内壁环向应力 = 52.0 MPa 外径/内径 = 2.0：内壁环向应力 = 33.3 MPa 外径/内径 = 3.0：内壁环向应力 = 25.0 MPa 外径/内径 = 4.0：内壁环向应力 = 22.7 MPa
判读第二段输出：外径翻倍，内壁环向应力只从 52 降到 33.3 兆帕；再翻倍只降到 25——加厚壁筒的收益边际递减，因为环向应力永远高于内压、趋近内压值而不可跨越。高压容器改用多层缩套（预应力让内壁预先受压）或自增强工艺，正是为了绕过这条渐近线。解析解的价值不在算一个数，而在揭示这种设计规律。
应力集中：小孔的放大镜
受拉板开一个小圆孔，孔边环向应力达到远场应力的三倍——基尔施解，应力函数流水线的另一件标准产品。三倍这个系数与小孔尺寸无关（只要孔远小于板宽），是应力集中的"常数"。它的工程含义沉重：名义应力安全不代表孔边安全，疲劳裂纹几乎总是从孔边、键槽、圆角这类集中点萌生（第八章）。
# 基尔施解：受拉板小孔孔边应力集中 import math sigma0 = 100.0 # 远场拉应力 MPa print("孔边环向应力随角度分布（相对远场应力）") for deg in (0, 30, 60, 90, 120, 180): # 斜拉时孔边应力 = 远场应力 乘 (1 - 2*cos(2θ)) st = sigma0 * (1 - 2 * math.cos(2 * math.radians(deg))) print(f"θ = {deg:>3} 度：孔边切向应力 = {st:7.1f} MPa（{st/sigma0:.1f} 倍）") # 孔径影响：有限宽板的修正（Howland 近似） for d_over_w in (0.05, 0.1, 0.2, 0.4, 0.5): k = 3.0 - 3.13*(d_over_w**2) + 3.66*(d_over_w**4) print(f"孔径/板宽 = {d_over_w:.2f}：集中系数 ≈ {k:.2f}")
孔边环向应力随角度分布（相对远场应力） θ = 0 度：孔边切向应力 = -100.0 MPa（-1.0 倍） θ = 30 度：孔边切向应力 = -50.0 MPa（-0.5 倍） θ = 60 度：孔边切向应力 = 50.0 MPa（0.5 倍） θ = 90 度：孔边切向应力 = 300.0 MPa（3.0 倍） θ = 120 度：孔边切向应力 = 50.0 MPa（0.5 倍） θ = 180 度：孔边切向应力 = -100.0 MPa（-1.0 倍） 孔径/板宽 = 0.05：集中系数 ≈ 2.99 孔径/板宽 = 0.2：集中系数 ≈ 2.96 孔径/板宽 = 0.4：集中系数 ≈ 2.82 孔径/板宽 = 0.5：集中系数 ≈ 2.70
判读两段记录：第一段，垂直于拉伸方向的孔边点应力达三倍远场，且孔边出现压应力区——正负交替是集中问题的常态；第二段，孔径一路增大，集中系数从 3 缓慢降到 2.7，说明小孔危险、大孔未必安全多少，工程上"开小孔没事"的经验对，但孔边细节（倒角、冷挤压强化）比孔径更值得投入。三倍的集中叠加疲劳载荷，就是断轴故事的完整开头。
圣维南与适用边界
应力函数解要求边界条件逐点满足，工程里载荷往往是"只知道合力"的等效力系。圣维南原理放行：合力与合力矩相同的载荷在同截面远端产生相同的应力，差异只局限在载荷作用区一倍横截面尺寸以内。于是远场用解析解、近场用实验或数值校核，是标准分工。当几何完全不规整（三维变截面、多孔群、焊缝区），解析求解台交棒给第九章的有限元——但判读的物理直觉，仍然来自本章这些经典解。
本节要点回顾
- 平面应力对应薄板（厚度向应力零），平面应变对应长柱体（厚度向应变零），公式不可混用。
- 应力函数把平衡自动打包，剩余条件是双调和方程，求解是四步流水线。
- 拉梅解揭示厚壁筒内壁应力随加厚的边际递减，催生多层与自增强工艺。
- 小孔集中系数为三倍且近乎与孔径无关，孔边是疲劳裂纹首选萌生地。
- 圣维南原理授权"远场解析、近场数值"的工程分工。
应力函数走的是"精确"路线。换一条路——泛函极值，下一节能量原理。