6.1 拉压与扭转

6.1 拉压与扭转

本节摘要：拉压与扭转是构件试验段最基础的两类加载：轴向拉伸下横截面应力均匀、斜截面藏有剪切极值；扭转下剪应力沿半径线性分布、空心截面显著占优。本节以阶梯杆与传动轴为试件，给出可直接复算的应力与变形记录，并判读材料分布对刚度的杠杆作用。

两种最"省事"的应力状态

上一章的解析求解台解决的是场问题，本节起进入工程师的日常：应力分布可以直接写出来的构件。轴向拉压是其中最省事的一类——圣维南原理保证了离加载点一倍截面尺寸之外，横截面上应力均匀，σ 等于轴力 N 除以面积 A。伸长量 δ 等于 NL 除以 EA，欧拉线性化的产物，却好用到几乎不假思考。要当心的是斜截面：拉杆破坏时断口常常不是横截面，低碳钢拉伸试件拉断后那圈四十五度剪切唇，正是在提醒你——均匀拉应力里藏着斜截面剪应力极值。

扭转是另一类"线性分布"问题。圆轴扭转时横截面上只有剪应力，τ 等于 T 乘 ρ 除以 Ip，沿半径线性、圆心为零、表层最大。变形用单位长度扭转角 φ 一撇等于 T 除以 GIp 描述。 Ip 是极惯性矩，实心圆是 πd⁴ 除以三十二，它是本节真正的主角——扭转强度与刚度全部押在材料离圆心多远上。

图：拉压与扭转的截面应力分布对比

阶梯杆实验：分段记录一次拉断

试件是一根两段式钢杆：细段直径二十毫米长三百毫米，粗段直径三十毫米长两百毫米，两端各留夹持头，E 取两百吉帕。加载五十千牛，逐段记录应力与伸长。

# 阶梯杆轴向拉伸：分段应力与伸长
import math

F, E = 50e3, 200e9            # 轴力 N，弹性模量 Pa
segments = [                   # (直径 m, 长度 m)
    (0.020, 0.300),
    (0.030, 0.200),
]
total_delta = 0.0
print("段    应力 MPa   伸长 mm")
for i, (d, L) in enumerate(segments, 1):
    A = math.pi * d**2 / 4
    sigma = F / A
    delta = F * L / (E * A)
    total_delta += delta
    print(f"{i}     {sigma/1e6:7.1f}    {delta*1e3:7.4f}")
print(f"总伸长 = {total_delta*1e3:.4f} mm")

# 斜截面记录：法线与轴线成 θ 的截面上正应力与剪应力
sigma0 = 250e6                 # 名义拉应力 Pa
print("\nθ 度   正应力 MPa   剪应力 MPa")
for deg in (0, 30, 45, 60, 90):
    t = math.radians(deg)
    sn = sigma0 * math.cos(t)**2
    ts = sigma0 * math.sin(t) * math.cos(t)
    print(f"{deg:3d}    {sn/1e6:8.1f}     {ts/1e6:8.1f}")
​

段    应力 MPa   伸长 mm
1       159.2     0.2387
2        70.7     0.0707
总伸长 = 0.3094 mm

θ 度   正应力 MPa   剪应力 MPa
  0       250.0        0.0
 30       187.5      108.3
 45       125.0      125.0
 60        62.5      108.3
 90         0.0        0.0
​

判读两段记录：粗细两段的应力差出两倍多，但细段虽然应力高、贡献的伸长反而占四分之三以上——伸长公式里长度也在起作用，判读变形记录时两个因子都要过目。斜截面表里，四十五度方向剪应力达到一百二十五兆帕的极值，恰好是正应力的一半：max 剪等于最大正应力除以二，这条关系在第三章的应力圆里已经埋过伏笔。低碳钢拉伸屈服时滑移线沿四十五度方向出现，正是这条剪应力极值线在试件表面留下的指纹。

扭转实验：同重量下实心与空心对决

试件换成一对传动轴：一根实心直径四十毫米，一根空心，内径比外径取零点七，两根横截面积相同——也就是每米重量相同。传递扭矩同为一点五千牛米，G 取七十六点九吉帕（与 3.2 节由 E 和 ν 推出的剪切模量同源）。

# 等重量实心轴与空心轴的扭转对比
import math

T, G = 1500.0, 76.9e9          # 扭矩 N·m，剪切模量 Pa
ratio = 0.7                     # 空心轴 内外径比

d_solid = 0.040
A = math.pi * d_solid**2 / 4

def hollow_D(r):
    # 由面积相等反解外径
    return math.sqrt(4 * A / math.pi / (1 - r**2))

D = hollow_D(ratio)

def report(name, d_out, d_in=0.0):
    Ip = math.pi * (d_out**4 - d_in**4) / 32
    tau = T * (d_out / 2) / Ip
    theta = T / (G * Ip)                  # rad/m
    print(f"{name}: 外径 {d_out*1e3:5.1f} mm  Ip = {Ip:.3e} m4  "
          f"τ = {tau/1e6:6.1f} MPa  转角 {math.degrees(theta):5.2f} 度/m")

report("实心", d_solid)
report("空心", D, D * ratio)
print(f"\n空心外径 = {D*1e3:.1f} mm，内径 = {D*ratio*1e3:.1f} mm")
​

实心: 外径  40.0 mm  Ip = 2.513e-07 m4  τ =  119.4 MPa  转角  4.45 度/m
空心: 外径  56.0 mm  Ip = 7.342e-07 m4  τ =   57.2 MPa  转角  1.52 度/m
​

判读这份对决记录：材料一克未增，表层应力从一百一十九兆帕降到五十七兆帕，接近腰斩；单位长度扭转角从四点四五度每米降到一点五二度，刚度接近三倍。原因写在线性分布图上——实心轴圆心附近的材料几乎不受力，纯属"陪跑"；空心化把陪跑的材料搬到了受力最大的外圈。传动轴、自行车前叉、建筑钢管清一色做成空心管，就是这笔账。当扭矩一定而轴长受限时，空心化是免费的结构升级；代价是薄壁件要防局部屈曲与磕碰凹瘪，壁厚不能削得太薄。

常见误读两则

判读拉压与扭转记录时有两处高频误读值得点名。其一，把斜截面极值当破坏方向教条化：四十五度剪断是塑性材料的死法，脆性材料（铸铁、高强钢低温环境）拉断反而沿横截面——正应力拉开，与塑性正好相反，扭转脆断的螺旋断口约四十五度螺线也是同一家族。其二，把扭转的"线性分布"推广到非圆截面：矩形轴扭转后截面会翘曲，剪应力分布完全改写，最大剪应力在长边中点而非角点，圆轴公式直接套用会显著低估。两条合起来的判读习惯：先看材料（塑性还是脆性）、再看截面（圆还是非圆），公式跟着这两问走。

本节要点回顾

• 拉压应力 σ 等于 N 除以 A 只在均匀区成立，加载点附近一倍截面尺寸内圣维南过渡。
• 斜截面上剪应力在四十五度方向取极值，等于最大正应力的一半，是屈服滑移线的方向。
• 伸长与应力要分段算：细段应力高，长段贡献变形，两个因子独立起作用。
• 扭转剪应力沿半径线性，表层最大；强度与刚度全押在极惯性矩 Ip 上。
• 等重量空心化让 Ip 翻近三倍：材料搬到外圈是最便宜的结构升级。

轴向与扭转的分布都规整。轮到弯曲——工程里最重要也最容易出错的一类加载。