8.1 赫兹接触

8.1 赫兹接触

本节摘要：赫兹理论把"点接触"还原为半径毫米级的小接触斑：压强呈半椭球分布，峰值可达吉帕量级，最大剪应力藏在零点四八倍接触半径的亚表面。本节完成球与平面接触的完整演算，判读麻点剥落为何总是从亚表面萌生、载荷增加为何只按立方根缓抬应力。

点接触的真相：一小块椭圆

滚动轴承、齿轮齿面、凸轮从动件、钢轨与轮对——这些承载的"名义点"在显微镜下都是一小块接触斑。赫兹在一八八二年给出弹性接触的完整解，三条记录单结论沿用至今：接触区是椭圆（球与平面时为圆）；压强在接触斑上按半椭球分布，中心最高、边缘为零；两体在法向趋近的变形量与载荷呈三分之二次方关系。接触问题的特殊性在于边界未知——接触斑本身的大小位置要跟应力一起解出来，这是它比弯曲扭转难缠的根源。

另一件反直觉的事藏在表层之下：接触面上压强最高，但破坏起点不在表面，而在零点四八倍接触半径深的亚表面——那里是最大剪应力的家。滚动轴承的麻点剥落、齿轮齿面的点蚀，断口分析几乎总把裂纹源指向次表面，就是这半椭球应力场写下的签名。

图：球与平面接触的压强分布与亚表面剪应力极值

完整演算：一枚钢球压上钢板

试件组合：半径十毫米的钢球压在钢平面上，载荷一百牛。两边同材，E 等于两百一十吉帕、ν 等于零点三。赫兹公式需要先把两体揉成一个等效体：接触模量 E* 由两边材料串联而成，等效曲率半径 R* 对平面即取球的半径。三条输出：接触半径 a、趋近量 δ、峰值压强 p₀，再加亚表面最大剪应力的位置。

# 赫兹接触：钢球压钢平面
import math

R, F = 0.010, 100.0            # 球半径 m，法向载荷 N
E1, E2, nu = 210e9, 210e9, 0.30

# 等效接触模量与等效曲率半径
inv_Es = (1-nu**2)/E1 + (1-nu**2)/E2
E_s = 1/inv_Es
R_s = R                          # 平面曲率半径取无穷大
print(f"等效接触模量 E* = {E_s/1e9:.1f} GPa")

a  = (3*F*R_s/(4*E_s))**(1/3)   # 接触斑半径
d  = a**2/R_s                    # 法向趋近量
p0 = 3*F/(2*math.pi*a**2)        # 峰值压强
print(f"接触半径 a = {a*1e3:.3f} mm")
print(f"趋近量   δ = {d*1e6:.2f} μm")
print(f"峰值压强 p0 = {p0/1e9:.3f} GPa")
print(f"平均压强 = {F/(math.pi*a**2)/1e9:.3f} GPa（= 2/3 峰值）")
print(f"最大剪应力深度 ≈ 0.48a = {0.48*a*1e6:.0f} μm")
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等效接触模量 E* = 115.4 GPa
接触半径 a = 0.187 mm
趋近量   δ = 3.48 μm
峰值压强 p0 = 1.371 GPa
平均压强 = 0.914 GPa（= 2/3 峰值）
最大剪应力深度 ≈ 0.48a = 90 μm
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判读这份记录：一百牛的轻载，压强却冲到一点三七吉帕——是钢材屈服的数倍而不坏，因为接触斑深处是三轴受压状态，剪应力才是屈服的裁判，第三章的屈服准则在此兑现。接触半径不足零点二毫米，趋近量三微米量级：接触刚度天然是"软"的，精密仪器与机床主轴把预紧（增大载荷让接触斑变大）当刚度调节手段，用的正是 δ 随 F 三分之一次方的脾气。

载荷加九倍：压强只涨一倍

接触问题的尺度律最有工程味：接触半径、峰值压强、趋近量都正比于载荷的三分之一次方。载荷翻九倍，接触斑半径翻两倍——受压面积翻四倍多，把压强的涨幅稀释到二点零八倍。这份"应力稀释"是接触疲劳设计的底气：载荷谱里的峰值工况，对接触应力的贡献比直觉温和得多。

# 载荷尺度律：压强随载荷的三分之一次方增长
import math

R, E_s = 0.010, 115.4e9
print("载荷 N    接触半径 mm    峰值压强 GPa   相对百牛")
for F in (25.0, 100.0, 400.0, 900.0):
    a  = (3*F*R/(4*E_s))**(1/3)
    p0 = 3*F/(2*math.pi*a**2)
    print(f"{F:6.0f}      {a*1e3:7.3f}       {p0/1e9:7.3f}     "
          f"{(F/100)**(1/3):5.2f} 倍")
​

载荷 N    接触半径 mm    峰值压强 GPa   相对百牛
    25        0.118         0.864      0.63 倍
   100        0.187         1.371      1.00 倍
   400        0.296         2.176      1.59 倍
   900        0.388         2.851      2.08 倍
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判读：四行数字贴着三分之一次方走，一行不多一行不少。压强从零点八七吉帕抬到二点八五吉帕，已经越过多数轴承钢的许用接触应力——这解释了滚动轴承样本里额定动载荷为什么卡得那么死：载荷再抬一档，接触应力越过表面硬化层的门槛，亚表面萌生的麻点剥落从寿命问题升级为失效问题。设计的判读次序固定：先算接触斑压强，再查材料许用值，最后才谈润滑与表面强化的加成。

接触疲劳的判读延伸

把接触记录与疲劳账本接上（8.4 节的完整算法在此预演）。滚动接触的寿命判读用 tenth-life 思路：接触应力越高，循环到麻点剥落的寿命越短，经验规律是接触应力降一成、寿命翻一倍上下——四次方到六次方的敏感度藏在材料指数里。这就是轴承样本把额定动载荷与一百万转寿命绑定、并给出载荷寿命指数三分之一的原因（球轴承载荷比恰是接触应力比的立方，尺度律再次现身）。判读次序：先算接触斑压强，对照表面硬化层的许用值（渗碳轴承钢许用接触应力可达三千兆帕以上）；再看滑移比——纯滚动才有亚表面萌生，附加滑动把裂纹源拖到表面，磨损与剥落混流，寿命模型要换。接触力学的判读深度，取决于把第八章的账本翻到第几页。

补一条"为什么坏在皮下"的微观注脚：亚表面最大剪应力点恰好常与材料缺陷（氧化物夹杂、碳化物带）同深度——冶金夹杂物是这个深度的常客，裂纹源十有八九钉在夹杂上。轴承钢要把氧含量压到个位数 ppm，出力最大的就是这条亚表面应力记录：深处不干净，表面再硬化也白搭。

本节要点回顾

• 真实点接触是小接触斑：半径按载荷三分之一次方增长，压强半椭球分布。
• 等效接触模量 E* 把两体材料串联，等效曲率半径 R* 把两体几何合并。
• 钢球百牛级轻载即得吉帕级压强：接触点深处三轴受压，剪应力才是裁判。
• 最大剪应力藏在零点四八倍接触半径的亚表面，麻点剥落裂纹源在此萌生。
• 载荷翻九倍压强只翻二点零八倍：接触应力被接触斑长大稀释。

接触斑内尚有边界可寻。裂纹尖端连边界都失效了——下一节进入应力奇异的世界。