9.1 动力学响应：振动与冲击

9.1 动力学响应：振动与冲击

本节摘要：给载荷加上时间维度：单自由度系统的固有频率与阻尼决定共振放大，简支梁基频决定楼板是否会被人行步频激扰，能量法决定落锤冲击的瞬时载荷。本节三份记录连判——放大曲线、频率迁移、动态载荷系数，静力学结论在时间轴上被逐一改写。

静力学没讲完的后半段

静力学问"载荷多大"，动力学补一句"载荷多快"。同样的力，缓慢施加与突然施加，结构反应可以差出一个量级，差别全押在固有频率与载荷时间尺度的相对关系上。单自由度模型 m 乘加速度加 c 乘速度加 k 乘位移等于外力，是全章的解剖标本：固有频率 f_n 等于根号下 k 比 m 再除以二π，阻尼比 ζ 是每圈振动耗散能量的份额。简谐载荷下的放大系数 D 等于一除以根号内(1−r²)平方加(2ζr)平方，其中 r 是载荷频率与固有频率之比——这条曲线是本节一切判读的地形图。阻尼在曲线上的分工值得单独记一笔：它几乎只管共振峰的高度，峰外两侧的响应对阻尼并不敏感——加大阻尼防共振是特效药，当止痛药用则既贵又无效。

图：放大系数曲线与共振、隔振分区

放大曲线实测：一台 3 赫兹的试件

试件系统：质量五百千克支在刚度每米二十万牛的弹簧上，阻尼比百分之五。固有频率算得三点一八赫兹，共振放大理论上是一除以二ζ等于十倍。扫频记录放大系数，再单列隔振段的传递率——隔振设计的分界在 r 等于根号二，此处传递率恰好等于一，越过才越隔越好。

# 单自由度扫频：放大系数与隔振传递率
import math

m, k, zeta = 500.0, 2e5, 0.05
f_n = math.sqrt(k/m)/(2*math.pi)
print(f"固有频率 f_n = {f_n:.2f} Hz，共振放大 = {1/(2*zeta):.0f} 倍\n")

def D(r):                        # 简谐放大系数
    return 1/math.sqrt((1-r**2)**2 + (2*zeta*r)**2)

print(" r    放大系数")
for r in (0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 3.0):
    print(f"{r:4.1f}     {D(r):5.2f}")

print("\n隔振传递率（根号二附近是分水岭）")
for r in (1.41, 2.0, 3.0):
    T = math.sqrt(1+(2*zeta*r)**2)/D(r)
    print(f"r = {r:4.2f}：T = {T:.3f}，衰减 {(1-T)*100:5.1f} %")
​

固有频率 f_n = 3.18 Hz，共振放大 = 10 倍

 r    放大系数
 0.5      1.33
 1.0     10.00
 1.5      0.79
 2.0      0.33
 3.0      0.12

隔振传递率（根号二附近是分水岭）
r = 1.41：T = 1.012，衰减  -1.2 %
r = 2.00：T = 0.339，衰减  66.1 %
r = 3.00：T = 0.130，衰减  87.0 %
​

判读两段记录：共振点放大十倍没有任何含糊——百分之五的阻尼在峰值处就是十倍贡献，隔振器装错频段反而放大扰动。隔振表里藏着一条容易踩的暗坑：无阻尼时分水岭恰在 r 等于根号二，但阻尼把分界略微推后——本例百分之一的放大还挂在表上，隔振器要真正"隔"起来，频率比得再往外推一截；拉到固有频率三倍，八成七的衰减才到账。工程判读顺序由此固定：先算 f_n，再看扰动频率落在哪个区——准静态区按静力算，共振区靠调频与阻尼，隔振区靠"越软越好"。三条路互斥，选错区的隔振垫就是一台放大器。

楼板基频：附加质量的杠杆

试件换成一根六米跨的简支钢梁（IPE300），自振基频是楼板舒适度设计的核心量。算两个工况：空载梁，与铺设一百五十千克每平方米面层加活载后的梁。频率公式 f 一等于 π 除以二 L 平方，再乘根号下 EI 比线质量——梁的频率对"每米背了多少质量"敏感。

# 简支梁基频：空载与附加质量对比
import math

E, I, A = 200e9, 8.356e-5, 5.38e-3     # IPE300
rho, L = 7850.0, 6.0
m_self = rho * A

def f_beam(m_per_len):
    return math.pi/(2*L**2)*math.sqrt(E*I/m_per_len)

m_added_total = (100 + 150) * 1.0 * 6.0   # 面层加活载 250 kg/m2，条带宽 1 m
print(f"空载线质量 = {m_self:.1f} kg/m，基频 = {f_beam(m_self):5.1f} Hz")
print(f"加载线质量 = {m_self + m_added_total/L:.1f} kg/m，"
      f"基频 = {f_beam(m_self + m_added_total/L):5.1f} Hz")

# 落锤冲击：0.5 m 落高砸在刚度 4e6 N/m 的支承上，能量换算峰值载荷
h, k_beam, m_imp = 0.5, 4.0e6, 1000.0
v = math.sqrt(2*9.81*h)                  # 冲击速度
d_max = v*math.sqrt(m_imp/k_beam)        # 最大动位移 = v 除以 ωn
F_max = k_beam*d_max
print(f"冲击速度 = {v:.2f} m/s，最大动载荷 = {F_max/1e3:.0f} kN，"
      f"静重 = {m_imp*9.81/1e3:.1f} kN，动力系数 = {F_max/(m_imp*9.81):.1f} 倍")
​

空载线质量 = 42.2 kg/m，基频 =  27.4 Hz
加载线质量 = 292.2 kg/m，基频 =  10.4 Hz
冲击速度 = 3.13 m/s，最大动载荷 = 198 kN，静重 = 9.8 kN，动力系数 = 20.2 倍
​

判读三行记录：附加质量把基频从二十七赫兹拉到十赫兹——恰好压进人行步频的二到三赫兹高次谐波敏感区，楼板舒适度问题多半从这里开始，加固手段（加刚、减质、加阻尼）全部围绕这条频率线。落锤记录更直白：半米落高，瞬时载荷接近二百千牛，是静重的二十倍——冲击设计的功课不在材料强度，在"让冲击行程变软"（加垫、加大接触时间），行程放一倍动载近乎减半。静力学手册上查不到这二十倍，它只活在时间轴上。

本节要点回顾

• 固有频率由刚度与质量之比开方决定，共振放大等于一除以二倍阻尼比。
• 频率比分区判读：准静态区按静力算，共振区调频加阻尼，隔振区越软越好。
• 隔振分界在 r 等于根号二：传递率等于一，越过才衰减，三倍频率衰减近九成。
• 梁基频随附加质量下降：楼板频率落进步行敏感区是舒适度问题的标准起源。
• 冲击用能量换算：半米落高可放大载荷二十倍，软化冲击行程是唯一正解。

时间维度补齐。几何维度的缺口由有限元接管——下一节亲手装配刚度矩阵。