3.2 刚体转动与达朗贝尔原理

3.2 刚体转动与达朗贝尔原理

转动定律：对转轴的合外力矩等于转动惯量乘角加速度，是牛顿第二定律的转动版。达朗贝尔原理在质点系上假想施加惯性力后，动力学问题在形式上化为静力平衡问题。本节计算转动惯量、列转动方程、数值求解飞轮启停，并练习惯性力法这一"改写工具"。

上一节完成了平动的因果链，这一节把它移植到转动世界。位置上，它上承第 2 章的角量描述、下接第 6 章振动的质量矩阵——转动惯量在振动方程里的角色，与质量在牛顿方程里的角色完全对等。

转动惯量：转动的"质量"

质量度量平动惯性，转动惯量度量转动惯性，不仅看质量大小，还看质量离轴多远：同样的质量，分布得离轴越远越难转。均质细杆绕过质心垂直轴的转动惯量是 mL²/12，移到端点轴就变成 mL²/3，差四倍——这就是平衡锤做得长、飞轮把质量堆在外缘的原因。

常见几何的转动惯量应当形成条件反射：

平行移轴定理连接不同轴：对任意轴的转动惯量等于过质心平行轴的转动惯量加 md²（d 为两轴间距）。查表时永远查质心轴，再用移轴定理换到实际轴——直接对非质心轴积分是初学者最容易绕的弯路。

转动方程与飞轮启停

转动定律的用法与牛顿定律一模一样：画受力（矩）图、定正方向、列方程、解或积。用一个完整案例走全程——飞轮从静止加速到工作转速，电机力矩有随转速衰减的特性：

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

# 飞轮：质量 120 kg，半径 0.5 m，视为均质圆盘
m, R = 120.0, 0.5
I = 0.5 * m * R**2   # 圆盘转动惯量
print(f"转动惯量 I = {I:.2f} kg·m²")
# 电机力矩：起步 80 N·m，随角速度线性衰减到 300 rad/s 时为零
T0, w_max = 80.0, 300.0
def rhs(t, s):
    w = s[0]
    T = T0 * max(0.0, 1 - w / w_max)
    return [T / I]
sol = solve_ivp(rhs, [0, 60], [0.0], t_eval=np.linspace(0, 60, 121), rtol=1e-8)
print(f"60 s 末角速度 {sol.y[0][-1]:.1f} rad/s（约 {sol.y[0][-1]*60/2/np.pi:.0f} r/min）")
# 动能与"惯性矩"直觉：存了多少能量
E = 0.5 * I * sol.y[0][-1]**2
print(f"储存动能 {E/1000:.1f} kJ——飞轮储能就是把质量推离转轴并提速")
# 若把同样质量做成半径 0.25 m 的圆盘对比
I2 = 0.5 * m * 0.25**2
print(f"同样质量半径减半：转动惯量降为 {I2:.2f}，同转速储能只有原来的 {I2/I:.0%}")
​

半径减半储能掉到四分之一——"质量离轴多远"比"质量多大"更值钱，这个结论直接解释了飞轮的外缘加厚设计。

再练一个轴承反力问题，它是达朗贝尔原理的舞台：转子上偏心质量产生惯性力，轴承承受旋转载荷。这是旋转机械振动（第 6 章）的伏笔。

import numpy as np

# 转盘质量 40 kg 半径 0.3 m，转速 1500 r/min，
# 边缘 0.1 kg 的偏心质量块在 r=0.28 m 处
n = 1500.0
w = n * 2 * np.pi / 60
m_e, r_e = 0.1, 0.28
# 惯性力大小 = m_e * w^2 * r_e（离心力，方向随转动旋转）
F_inertia = m_e * w**2 * r_e
print(f"角速度 {w:.1f} rad/s")
print(f"偏心块惯性力 = {F_inertia:.0f} N（方向随转角旋转）")
# 两个轴承对称布置，各分一半旋转载荷
print(f"每轴承交变载荷幅值 {F_inertia/2:.0f} N，频率 = 转轴频率 {n/60:.1f} Hz")
# 0.1 kg 的小误差在 1500 r/min 就有上千牛旋转载荷：
print("0.1 kg 偏心在 3000 r/min 时：", f"{0.1*(2*3000*2*3.14159/60)**2*0.28:.0f} N")
​

0.1 千克的偏心块，1500 转每分时产生约 700 牛旋转惯性力，转速翻倍再翻倍。转子动平衡不是精饰工序，是把第 6 章"共振激励源"提前拆掉。

达朗贝尔原理：假装是静力学

达朗贝尔原理的表述朴素得可疑：给每个质点加上假想的惯性力（负号乘加速度），动力学方程就变成平衡方程。它没有新物理，价值在于形式统一：已知运动求约束力时，画上惯性力与惯性力偶，第 1 章的全部静力学手筋直接复用。

import numpy as np

# 均质杆 AB 长 L=2 m 质量 m=30 kg，A 端铰接，从水平位置无初速释放瞬间
# 求 A 处支座反力。用达朗贝尔原理：加惯性力与惯性力偶，对"平衡"取矩
L, m, g = 2.0, 30.0, 9.81
I_A = m * L**2 / 3                     # 对 A 端轴的转动惯量
alpha = (m * g * L / 2) / I_A          # 释放瞬间力矩只有重力
a_C = alpha * L / 2                    # 质心切向加速度（此刻角速度为零）
F_I = m * a_C                          # 惯性力合力，作用于质心，方向与 a_C 相反
# "平衡"方程：竖向 Ay + F_I - m g = 0
Ay = m * g - F_I
print(f"释放瞬间角加速度 {alpha:.2f} rad/s²，质心加速度 {a_C:.2f} m/s²")
print(f"惯性力 {F_I:.1f} N，支座竖向反力 Ay = {Ay:.1f} N")
print(f"注意 Ay = {Ay/m/g:.2f} 倍重量：杆几乎自由下落，铰只托住很小一部分")
​

结果是 Ay 约为重量的四分之一：释放瞬间质心几乎自由下落，铰链只承担修正部分。同样的问题用"质心运动定理加转动方程"联立也能做，但惯性力法让第 1 章的平衡方程直接上岗，思维负担明显更小。

⚠️ 常见坑：惯性力是假想力，只画在受力图上参与方程，不存在施力者——它违背"每个力都有施力者"的静力学纪律，所以达朗贝尔原理才被叫作"动静法"而非真平衡。另一个坑是惯性力必须加在质心、惯性力偶的转向与角加速度相反，位置或转向弄反，答案错得毫无征兆。

本节要点回顾

• 转动惯量看分布：同样质量离轴越远惯性越大，移轴定理负责从质心轴换算到任意轴。
• 转动定律是转动版牛顿定律：力矩对转动惯量等于角加速度，启停问题列方程数值积分即可。
• 偏心惯性力随转速平方增长：动平衡不良是旋转机械最典型的激励源，0.1 kg 级误差即可造成千牛级载荷。
• 达朗贝尔是改写不是新物理：加惯性力化动为静，已知运动求反力时尤其顺手。
• 惯性力无施力者：它住在方程里，不住在世界上——这句话是动静法的全部注意事项。

平动与转动的因果都已闭环。下一章打开构件，看载荷在材料内部留下什么痕迹。