12.子群

title: 12. 子群 tags: zk basic abstract algebra group theory subgroup WTF zk 教程第 12 讲：子群 这一讲，我们介绍子群的概念。子群可以看作是群的"儿子"，是群中一部分元素构成的集合，同时满足群的定义。它能够帮助我们理解群的内部结构。 子群的定义 设 $(G, )$ 是一个群， $H$ 是 $G$ 的一个非空子集。如果 $H$ 对于群运算 $$ 也构成一个群，那么 $(H, )$ 被称为 $(G, )$ 的子群，记作 $(H, ) \leq (G, )$。有时为了方便，在上下文明确的情况下可以省略运算符号，用集合表示一个群，比如 $H \leq G$ 为了成为子群， $H$ 中的元素需要属于 $G$ ，另外还须满足群的 4 个基本性质：封闭性，结合律，存在单位元，存在逆元。 让我们通过一些例子来理解子群的概念： 1.1 整数加法群的子群 考虑整数加法群 $(\mathbb{Z}, +)$，可以找到一些它的子群，比如： 偶数群： 由所有偶数构成的子集和加法运算构成的群。 封闭性：任意两个偶数相加仍然是偶数。 结合律...