15.同态和同构

title: 15. 同态和同构 tags: zk abstract algebra group theory homomorphism isomorphism WTF zk 教程第 15 讲：同态和同构 之前我们一直在关注群的内部关系：群、子群、陪集、商群。这一讲，我们将研究两个群之间的关系，并引入群同态和群同构的概念。 群同态 群同态的字面意思就是两个群形态相似。对于两个群 $(G, )$ 和 $(H, )$，如果函数 $f : G \to H$ 对于 $a,b \in G$ 满足： $$ f(a b) = f(a) f(b) $$ ，我们就称存在一个 $G$ 到 $H$ 的群同态 $f$。 为了简单，我们会直接叫它“同态”，而不是“群同态”。 上面的等式左边的意思是：先在群 $G$ 中做 $a$ 和 $b$ 的运算，再将结果用 $f$ 映射到群 $H$。等式右边的意思是：先将群 $G$ 的元素 $a$ 和 $b$ 映射到群 $H$ 后，再对 $H$ 中的像做运算。在群同态中，两种方式殊途同归。因此，同态让两个群之间建立了一种连接，同时保持了群的基本运算结构不变。 举个例子，设 $...