7.1 7.1 金融数学工单：给"未来的选择权"定价

7.1 金融数学工单：给"未来的选择权"定价

本节摘要：期权的价值来自未来的不确定性，为它定价是随机数学最著名的应用。本节从无套利直觉讲到二叉树模型的复制论证，再用蒙特卡洛为路径依赖期权定价，最后落地风控语言：VaR 与 CVaR 怎么报告、边际怎么读。所有代码可跑，结论带业务话术。

能力清单

阅读完本节，你应当能够：

1. 用复制组合论证解释"为什么定价与真实概率无关"；
2. 实现二叉树与蒙特卡洛两条定价路线并核对一致性；
3. 用 VaR/CVaR 组合报告组合风险，说明两者的分工。

工单背景：一张认购合约值多少钱

持有一张认购期权，就拥有"一个月后以约定价格 100 元买入股票"的权利（不是义务）。到期时股价高于 100 就行权赚差价，低于就作废——收益是折线形的：下行有底、上行无限。卖方收了权利金，承担上行风险。权利金该收多少？这不是拍出来的，是算出来的。

定价的核心直觉叫无套利：市场上不该存在"零成本稳赚"的机会。由此推出一个反直觉的结论——定价不需要预测股价涨跌的概率。论证靠复制：用"买一部分股票加借一笔钱"构造一个组合，让它在每种未来状态下都与期权收益完全相同；那么期权的今天价格必须等于这个复制组合的今天成本，否则低买高卖就能套利。注意复制组合里的比例由"让两种状态收益相等"解出，整个过程没有出现真实概率——出现的只是无风险利率（折现用）。

二叉树：把复制论证做成算法

假设一个月后股价只有两个状态：涨到 110 或跌到 90。持有数量 d 股股票加现金 B，要求两种状态下都等于期权收益：

import numpy as np

S0, K, u, d = 100.0, 100.0, 110.0, 90.0
r = 0.01                          # 月度无风险利率
cu, cd = max(u - K, 0), max(d - K, 0)   # 两种状态的期权收益

# 复制方程: d*u + B*(1+r) = cu;  d*d_ + B*(1+r) = cd   （d_ 为下跌价）
shares = (cu - cd) / (u - d)
cash = (cu - shares * u) / (1 + r)
price = shares * S0 + cash
print(f"复制组合: 持股 {shares:.3f} 股 + 现金 {cash:.2f}")
print(f"期权公平价: {price:.3f}")

# 风险中性概率校验: p*(cu) + (1-p)*(cd) 再折现 应等于同一价
p = ((1 + r) * S0 - d) / (u - d)
price2 = (p * cu + (1 - p) * cd) / (1 + r)
print(f"风险中性概率 p = {p:.3f}, 折现期望价 {price2:.3f}")
​

两条路殊途同归：价格等于"风险中性概率下的期望收益折现"。风险中性概率不是真实概率，它是从当前股价反推出来的加权系数，把"人们厌恶风险"的偏好打包封装了。这个视角的威力在多期模型里兑现：把一个月拆成几十步，每步两状态，倒推回去就是二叉树定价的完整算法——美式期权（可提前行权）在每个节点加一步"行权与持有的较大者"即可。

路径依赖期权（比如亚式期权，收益取决于路径均价）用树很笨拙，蒙特卡洛是主场：模拟几万条价格路径，逐条算收益，平均后折现。

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(66)
S0, K, r, sigma, T, n_steps, n_paths = 100, 100, 0.03, 0.2, 1.0, 252, 100_000
dt = T / n_steps

# 欧式认购：蒙特卡洛 与 解析公式对照
z = rng.standard_normal((n_paths, n_steps))
increments = (r - 0.5*sigma**2)*dt + sigma*np.sqrt(dt)*z
ST = S0 * np.exp(increments.sum(axis=1))
call_mc = np.exp(-r*T) * np.maximum(ST - K, 0).mean()

from scipy.stats import norm
d1 = (np.log(S0/K) + (r + sigma**2/2)*T) / (sigma*np.sqrt(T))
d2 = d1 - sigma*np.sqrt(T)
call_bs = S0*norm.cdf(d1) - K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(d2)
print(f"蒙特卡洛: {call_mc:.3f}  解析公式: {call_bs:.3f}")

# 亚式（均价）期权：树难做 模拟顺手
A = S0 * np.exp(np.cumsum(increments, axis=1)).mean(axis=1)
asian = np.exp(-r*T) * np.maximum(A - K, 0).mean()
print(f"亚式认购: {asian:.3f}（低于欧式, 因均价波动小于期末价）")
​

蒙特卡洛与解析公式的差应在标准误之内；亚式低于欧式的直觉是"平均比单个更稳"——波动被平均稀释，权利金自然便宜。定价工单的验收标准是两条独立路线对上，单路线结果（尤其自己刚写的代码）不直接上线。

风险报告：VaR 与 CVaR 成对交付

第 4 章备好的工具在此落地。持有一万股的股票组合，明日 95% VaR 是"亏损以 95% 概率不超过的线"，CVaR 是"越线之后的平均亏损"。报告话术要点：VaR 不是最坏情形（还有 5% 的尾部），尾部深度看 CVaR；监管与内部限额两个口径要一致。

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(7)
holding = 10_000
z = rng.standard_normal(400_000)
pnl = holding * 100 * (np.exp(-0.5*0.02**2 + 0.02*z) - 1)

var95 = np.quantile(pnl, 0.05)
cvar95 = pnl[pnl <= var95].mean()
print(f"95% VaR: 亏损线 {-var95:,.0f} 元")
print(f"95% CVaR: 越线后平均 {-cvar95:,.0f} 元")
print(f"尾部最深单日 {-pnl.min():,.0f} 元")

# 边际贡献: 头寸翻倍 风险线性放大吗
pnl2 = pnl * 2
print(f"头寸翻倍后 VaR: {-np.quantile(pnl2, 0.05):,.0f}")
​

线性持仓下风险随头寸线性放大；但组合里一旦有期权（收益折线非线性），风险与头寸就不是线性关系——此时边际风险要靠局部重估或模拟差分，这正是金融机构风控系统的日常计算。第 6 章的优化语言可以接管下一步：以 CVaR 为约束或目标做仓位配置，把"风险不超过多少"写进模型正则。

⚠️ 常见坑：把正态假设下算出的 VaR 当万能尺。金融回报的尾部比正态厚得多，极端日子的实测亏损经常越过正态 VaR 数倍；厚尾建模（历史模拟、极值理论）是衍生品组合的必修课。

💡 关键直觉：定价与风险管理是同一枚硬币——定价问"不确定性值多少钱"，风控问"不确定性会咬多深"。两者共享随机模拟的基础设施，一个面向产品，一个面向仓位。

金融工单双视图

本节要点回顾

• 无套利与复制是定价的地基，价格与真实涨跌概率无关；
• 风险中性概率是反推的加权系数，不是预测；
• 二叉树适合欧式与美式，蒙特卡洛适合路径依赖，双路线对上是验收线；
• 亚式低于欧式：平均稀释波动，权利金打折；
• VaR 与 CVaR 成对交付，厚尾下正态假设会低估尾部深度。