20.环

title: 20. 环 tags: zk abstract algebra ring theory ring WTF zk 教程第 20 讲：环 在抽象代数中，环（Ring）是一种比群更复杂的代数结构。环包含了两个二元运算，通常表示为加法和乘法。这一讲，我们将介绍环的定义、分类和性质。 环的定义 群是拥有一个运算的集合，而环是拥有两个二元运算的集合。它满足类似于整数加法和乘法的性质。环元素可以是整数或复数等数字，但也可以是多项式、函数和幂级数等非数字对象。 环的定义 一个环 $(R, +, \cdot)$ 包含了一个非空集合 $R$ 和两个二元运算 $+$（加法）和 $\cdot$（乘法），满足以下3条性质： $(R, +)$ 为Abel群（交换群），即满足： 加法封闭性： 对于任意 $a, b \in R$， $a + b \in R$。 加法结合律： 对于任意 $a, b, c \in R$， $(a + b) + c = a + (b + c)$。 加法单位元： 存在一个元素 $0 \in R$，对于任意 $a \in R$， $a + 0 = 0 + a = a$。 加法逆元...