title: 21. 理想和商环
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WTF zk 教程第 21 讲：理想和商环

在上一讲中，我们介绍了环的基本概念和性质。本讲我们将深入讨论环中的理想和商环，这两个概念可以类比群论中的正规子群和商群。

1. 理想

理想是为了构造商环而被定义出来的，正如群论中的正规子群是为了构造商群被定义出来一样。因此，在介绍理想前，我们先回顾一下正规子群。

商群是陪集构成的群。对于群 G 和子群 H，任意元素 a,b \in G，它们构造的陪集 aH 和 bH 之间的运算应该定义良好。我们需要 (aH)(bH) = abH，也就是子群 H 满足 aH = Ha，这就是正规子群的定义。

而在环论中，商环是陪集构成的环，包含加法和乘法两个运算。对于环 R 和它的理想 I，任意元素 a,b \in R，它们构造的陪集 aI 和 bI 的运算应该定义良好：

1. 加法定义良好: (a + I) + (b+ I) = a+b + I

2. 乘法定义良好: (a + I) (b+ I) = ab + I

由于 (R, +) 构成Abel群，因此它的子群 (I, +) 是正规子群，满足 (a + I) + (b+ I) = a +b + I + I = a+b +I，因此加法总是定义良好的。而要满足乘法定义良好，对于任意 a,b \in R，我们需要 (a + I) (b+ I) = ab + aI + Ib + II = ab + I，也就是 aI 和 bI 是 I 的子集。换句话说，环中的任意元素乘理想中的元素，结果仍在理想中。

因此，我们需要让理想满足吸收律，即对于任意 r \in R 和 i \in I，有 ri \in I（因为教程中我们只研究交换环， ri \in I 也意味着 ir \in I，不然要分别定义左右理想）。

1.1 理想的定义

在（交换）环 R 中，如果一个子集 I 满足以下性质，那么 I 被称为 R 的理想：

1. 加法群构成子群： (I, +) 为 R, + 的子群。
2. 乘法吸收律：对于任意 r \in R 和 i \in I，有 ri \in I。

有时，第一个条件也可以替换为子群的充要条件：对于任意 a, b \in I，有 a - b \in I。

举个例子，对于任意整数 m， mZ 是整数环 Z 的理想。这是因为：

• 加法: (mZ, +) 是 (Z, +) 的子群。
• 乘法: 对于任意 a \in mZ 和 z \in Z，有 az \in mZ（az是m的倍数），满足乘法吸收律。

再举个例子，对于任意整数 m， mZ_n 是整数模n环 Z_n 的理想。这是因为：

• 加法: (mZ_n, +) 是 (Z_n, +) 的子群。
• 乘法: 对于任意 a \in mZ_n 和 z \in Z_n，设 a = mk（k为整数），因此有 az = mkz = m(kz) \in mZ，满足乘法吸收律。

1.2 理想的性质

性质1. 零理想： \set{0} 是任何环的理想，被称为零理想。

性质2. 环 R 是自身的理想。

\set{0} 和 R 本身也被称为环 R 的平凡理想；除二者以外的理想被称为非平凡理想。

性质3. 若环 R 的理想 I 包含乘法单位元 1，那么 I = R。

性质4. 理想 I 包含零元 0，但不一定包含乘法单位元 1，因此不一定构成环。

性质5. 主理想：给定环 R 和元素 a \in R，那么 aR 为理想。我们称 aR 为由 a 生成的 R 的主理想，记为 (a)。

主理想是构造理想的最简单方法。举个例子，给定 m \in Z， mZ 是整数环 Z 的主理想。

2. 商环

商环和商群类似，定义了环的等价关系。我们先看一下它的定义：

设 R 是一个环, I 是 R 的理想，我们称 R/I = \set{a + I | a \in R} 为 R 关于理想 I 的商环。

根据理想的定义，商环的加法和乘法是定义良好的。

• 加法运算：对于 a,b \in R，有 (a + I) + (b + I) = (a + b) + I \in R/I。

• 乘法运算：对于 a,b \in R，有 (a + I) \cdot (b + I) = ab + I \in R/I。

我们容易验证商环满足环的基本性质。商环 R/I 的零元为 0 + I，乘法单位元为 1 + I。

下面举个例子，考虑整数环 \mathbb{Z} 和它的理想 n\mathbb{Z}（所有 n 的整数倍）。商环记为 \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}，它也等价于 Z_n，也就是整数模 n 的剩余类环。其中，每个等价类由模 n 同余的整数集合构成，零元为 0，单位元为 1。

2.1 商环的同余关系

与商群一样，我们可以在商环 R/I 中定义同余关系（等价关系）：对于 a, b \in R，如果 a - b \in I，则称 a 和 b 在模 I 下同余，记作 a \equiv b \pmod{I}。

这意味着 I 中的元素在模运算下被视为相等。我们可以将 R/I 中的元素看作是 R 中在同余关系下等价的元素的等价类，这些等价类构成了商环 R/I。举个例子，元素 a 构成的等价类 [a] = \set{b \in R | b \equiv a \pmod{I}} = a + I，表示在 R 中与 a 同余的元素集合。

还是用商环 \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} 为例，它等于 \set{[0], [1], ... , [n-1]}，其中元素分别代表与 0, 1, ..., n-1 同余的整数集合。

3. 总结

这一讲，我们介绍了理想和商环。它们在环论中发挥着类似于正规子群和商群在群论中的作用，为研究环的结构提供了有力的工具。