21.理想和商环

title: 21. 理想和商环 tags: zk abstract algebra ring theory ideal quotient ring WTF zk 教程第 21 讲：理想和商环 在上一讲中，我们介绍了环的基本概念和性质。本讲我们将深入讨论环中的理想和商环，这两个概念可以类比群论中的正规子群和商群。 理想 理想是为了构造商环而被定义出来的，正如群论中的正规子群是为了构造商群被定义出来一样。因此，在介绍理想前，我们先回顾一下正规子群。 商群是陪集构成的群。对于群 $G$ 和子群 $H$，任意元素 $a,b \in G$，它们构造的陪集 $aH$ 和 $bH$ 之间的运算应该定义良好。我们需要 $(aH)(bH) = abH$，也就是子群 $H$ 满足 $aH = Ha$，这就是正规子群的定义。 而在环论中，商环是陪集构成的环，包含加法和乘法两个运算。对于环 $R$ 和它的理想 $I$，任意元素 $a,b \in R$，它们构造的陪集 $aI$ 和 $bI$ 的运算应该定义良好： 加法定义良好: $(a + I) + (b+ I) = a+b + I$ 乘法定义良好: $(a...