22.环同态与同构

title: 22. 环同态与同构 tags: zk abstract algebra ring theory homomorphism isomorphism WTF zk 教程第 22 讲：环同态与同构 在前几讲中，我们学习了环的基本定义、性质，以及理想和商环的概念。这一讲，我们将介绍环同态和同构，这两个概念与群同态/同构类似，有助于我们理解环之间的结构和关系。 环同态 环同态类似于群同态，是两个环之间的一种保持结构的映射。设两个环 $(R, +, \cdot)$ 和 $(S, \oplus, \odot )$，它们的零元分别为 $0R$ 和 $0S$，乘法单位元为 $1R$ 和 $1S$，若映射 $f: R \rightarrow S$ 满足以下条件： 加法同态：对于任意 $a, b \in R$，有 $f(a + b) = f(a) \oplus f(b)$。这条性质和群同态一样。 乘法同态：对于任意 $a, b \in R$，有 $f(a \cdot b) = f(a) \odot f(b)$。 乘法单位元的保持： $f(1R) = 1S$。 则称 $f$ 为 $R$ 到 $...