23.域

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title: 23. 域 tags: zk abstract algebra field theory field WTF zk 教程第 23 讲：域这一讲，我们介绍域，它是一种特殊的环，支持加减乘除运算，在各种密码协议中起着关键作用。域在之前的教程中我们学了群和环，下面是域和它们的对比：群：支持加法，减法（加法的逆运算）。环：支持加法，减法，乘法。域：支持加法，减法，乘法，除法（乘法的逆运算）。若交换环 $(F, +, \cdot)$ 的乘法群去除零元素后 $(F-\set{0}, \cdot)$ 能形成Abel群，那么我们称 $F$ 为域。也就是说域 $(F, +, \cdot)$ 满足以下性质：集合 $R$ 和加法构成的加法群 $(F, +)$ 为Abel群。


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WTF zk 教程第 23 讲：域

这一讲，我们介绍域，它是一种特殊的环，支持加减乘除运算，在各种密码协议中起着关键作用。

1. 域

在之前的教程中我们学了群和环，下面是域和它们的对比：

群：支持加法，减法（加法的逆运算）。
环：支持加法，减法，乘法。
域：支持加法，减法，乘法，除法（乘法的逆运算）。

若交换环 (F, +, \cdot) 的乘法群去除零元素后 (F-\set{0}, \cdot) 能形成Abel群，那么我们称 F 为域。也就是说域 (F, +, \cdot) 满足以下性质：

集合 R 和加法构成的加法群 (F, +) 为Abel群。
集合 R 去掉零元之后和乘法构成的群 (F-\set{0}, \cdot) 为Abel群。
加法和乘法满足分配律：即对于任意 a, b, c \in R，有
- a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c
- (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c。

也就是说，相比于交换环，域要求其中的任意元素 a \in \set{F-\set{0}} 存在乘法逆元 a^{-1}，也可以记为 \frac{1}{a}。

常见的域包括有理数域 \mathbb{Q}，实数域 \mathbb{R}，整数模 p 域 Z_p（其中 p 为质数）。

整数环 \mathbb{Z} 不能构成域，因为除了 1 和 -1，其他元素在整数中都不存在乘法逆元，比如 2 \cdot \frac{1}{2} = 1，但是 \frac{1}{2} 不是整数。

当 n 为合数时，整数模n环 Z_n 不能构成域，因为与 n 不互质的元素不存在逆元。比如 Z_6 的元素 2 和 3 没有逆元，因此不能构成域。而当 n 为质数时，整数模n环 Z_n 构成域，比如 Z_5 可以构成域。

2. 域的性质

域除了拥有环的所有性质之外，还有一些特别的性质。

性质1. 任何域 F 中至少有 2 个元素，即加法单位元（零元） 0 和乘法单位元 1。

点我展开证明

根据定义，域存在 0 和 1，我们需要证明 0 \neq 1。如果 0 = 1，那么 F - \set{0} 为空集，不能构成乘法群，因此 0 \neq 1，任何域 F 中至少有 2 个元素。证毕

性质2. 元素 a, b 来自域 F，且 a 和 b 均不是零元，那么有

\frac{1}{a \cdot b} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}

点我展开证明

证明这个命题等同于证明 a \cdot b 和 \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} 互为逆元。根据乘法交换律，有 a b \frac{1}{a} \frac{1}{b} = a \frac{1}{a} b \frac{1}{b} = 1 \cdot 1 = 1。因此， a \cdot b 和 \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} 互为逆元。证毕

性质3. 域中无零因子（域是整环） 元素 a, b \in F，若 ab = 0，那么有 a = 0 或 b = 0。

点我展开证明

证明这个命题等同于证明 a \cdot b 和 \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} 互为逆元。根据乘法交换律，有 a b \frac{1}{a} \frac{1}{b} = a \frac{1}{a} b \frac{1}{b} = 1 \cdot 1 = 1。因此， a \cdot b 和 \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} 互为逆元。证毕

性质4. 域的特征 若存在正整数n使得 0 = n \cdot 1 = 1 + 1 + ... + 1（其中有n个1），那么这样的n中最小的一个称为这个域的特征。域的特征要么是一个素数 p，要么是 0（表示这样的n不存在）。

点我展开证明

假设 n 为合数，那么存在 a, b \in F，使得 n = ab 成立。根据特征的定义，有 n \cdot 1 = 0，也就是 a \cdot b \cdot 1 = 0，得到 ab = 0。根据性质3（域中无零因子），得到 a = 0 或 b = 0，也就是 n = ab = 0，与假设矛盾。因此 n 不是合数。

当 n 为素数 p 时，特征为 p，比如 Z_5。

对于无限域，比如有理数域 R，特征不存在，此时 n = 0。

性质5. 一个交换环是域当且仅当它的理想只有自身和零理想。

点我展开证明

充分性

设 R 是一个域， I 是 R 的理想，其中 I 不等于 \set{0}。我们需要证明 I = R。

首先，我们证明域的乘法单位元 1 在 I 中。因为 I \neq \set{0}，因此存在元素 a \in I 且 a \neq 0，它的逆元 a^{-1} 存在且在域 R 中。根据理想的吸收律，有 a a^{-1} = 1 \in I，因此 1 \in I。

接下来，对于任意 b \in R，根据吸收律，有 1 \cdot b =b \in I，也就是 R \subseteq I。根据理想的定义，有 I \subseteq R，因此 I = R。证毕。

必要性

设 R 是一个交换环，且对于 R 的每个非零理想 I，有 I = R。考虑 R 中的非零元素 a，我们将证明存在 a^{-1} \in R 使得 a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1。

对于 R 中任意元素 a，我们考虑由 a 生成的主理想： I = (a) = \set{ra \mid r \in R}。由于 I 不是零理想且 I = R。因此，存在 b \in R 使得 ab = 1，也就是 a^{-1} = b \in R。因此，交换环 R 中任意元素存在逆元， R 是域。证毕。

3. 子域

对于域 F 和集合 K，有 K \subseteq F，且 K 与 F 中的加法和乘法运算构成域，那么我们称 K 为 F 的子域，而 F 为 K 的扩域。

这个条件等价于：

K \subseteq F
1_K = 1_F
K 中的任意元素在域 F 的加法和乘法运算中封闭。
K 中的任意元素存在加法逆元和乘法逆元。

举个例子，有理数域 \mathbb{Q} 是实数域的 \mathbb{R} 的子域，它们拥有相同的零元 0 和乘法单位元 1。

举几个反例，整数不是实数域的 \mathbb{R} 的子域，虽然整数是实数的子集，但是整数不能形成域；整数模2域 Z_2 不是整数模5域 Z_5 的子域，虽然 Z_2 \subseteq Z_5，但是它们的运算分别是模2和模5下的加法和乘法，而 Z_2 并不能在模5加法下封闭，比如 1+1 \equiv 2 \pmod{5} \notin Z_2。

在之后的教程中，我们会深入学习扩域这个概念。

4. 总结

这一讲，我们介绍了域及其性质。域是一种特殊的环，支持加减乘除运算，很多密码学/零知识证明算法都是建立在域上的。