title: 26. 域扩张
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WTF zk 教程第 26 讲：域扩张

这一讲，我们将介绍域扩张的概念，它涉及到域的拓展和扩充。

1. 域扩张

给定两个域 F 和 K，如果 F 是 K 的子域，那么我们称 K 是 F 的扩域。我们通常用 F \subseteq K 表示域 F 是域 K 的子域（也称基域），用 K/F 表示域 K 是 F 的域扩张（需要注意上下文，容易和商群的符号混淆）。

举个例子，有理数域 \mathbb{Q} 是实数域 \mathbb{R} 的子域，那么 \mathbb{R} 是 \mathbb{Q} 的扩域。

下面介绍几个和域扩张相关的概念：

• 真子域： 给定两个域 F 和 K，如果 F \subseteq K 且 F 不等于 K，则称 F 是 K 的真子域。

• 素域： 如果一个域没有真子域，那么我们称它为素域。

2. 代数扩域

代数扩域是一种常用的域扩张的方法，它与多项式相关。

如果对于域扩张 K/F 中的每个元素 a \in K，都存在一个非零多项式 f(x) \in F[x]，使得 f(a) = 0，我们称 K/F 是代数扩张。

我们可以通过代数扩域从小的域 F （以有理数域 Q 为例）构造扩域 K：

1. 从多项式环 F[x] 中选择一个多项式 P(x)，比如 P(x) = x^2 -2 = 0。

2. 接着找到多项式 P(x) 的一个根，这个根也叫代数元。比如 \sqrt{2} 是 P(x) = x^2 -2 = 0 的根，它不属于 Q。

3. 我们把这个根加入到 F 中形成扩域 K。在上面的例子中，扩域 K 包含形式为 a + b\sqrt{2} 的所有元素，其中 a, b \in Q。

4. 我们容易证明扩域 K 是域，且包含 F 中的所有元素。比如扩域 \set{a + b\sqrt{2}} 中的元素在加法和乘法下封闭的，且由于 a,b \in Q，扩域包含所有有理数。

为什么这样构造的域是代数扩域呢？

假设代数元为 \alpha，它是多项式 P(x) = 0 的一个根，扩域 K 中的元素可以用 a + b\alpha 表示，它是多项式 P(\frac{x-a}{b}) 的根。因此这样构造的扩域满足代数扩域的定义，是代数扩域。

2.1 代码示例

在python中，我们可以通过sympy来构造代数扩域：

from sympy import symbols, QQ, RootOf

# 定义符号变量
x = symbols('x')

# 在有理数域 QQ 上构建代数扩域 QQ/(sqrt(2)) (它是 x^2 - 2 = 0 的一个根)
ext_field = QQ.algebraic_field(RootOf(x**2 - 2, 1))

# 输出代数扩域和代数元
print("扩域: ", ext_field)
# QQ<sqrt(2)>
​

3. 极小多项式

在子域 F 上多项式环 F[x]中，以代数元 \alpha 为根的多项式并不唯一，我们设集合 J_\alpha = \set{P(x) | P(\alpha) = 0} 为满足该条件的多项式集合。

换句话说，极小多项式就是多项式环中满足 P(\alpha) = 0 的度最小的多项式。

性质1. J_\alpha 为多项式环 F[x] 的主理想

在 J_\alpha 中，我们可以度最小的首一多项式 Q(x)，它满足 Q(\alpha) = 0，我们称这个多项式为极小多项式。

性质2. 极小多项式 Q(x) 是唯一的。

性质3. 极小多项式 Q(x) 是不可约多项式。

性质4. 极小多项式 Q(x) 是理想 J_\alpha 的生成元。

性质5. 极小多项式 Q(x) 的度决定了域扩张 K/F 的度。

举个例子，对于扩域 \mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}，代数元为 \sqrt{2}，它有唯一的极小多项式 x^2 -2 = 0。该极小多项式的度为 2，说明域扩张 \mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q} 也是 2。这个扩域上的每个元素可以用 a + b \sqrt{2} 表示，有 1 和 \sqrt{2} 两个维度。

4. 总结

这一讲，我们学习了域扩张，代数扩张，和极小多项式。域扩张是将一个较小的基域扩展到一个更大的域的过程。在密码学中，我们通常用代数扩域进行域扩展，构造具有良好性质的域。