1.2 概率公理、加法公式与计数技术

1.2 概率公理、加法公式与计数技术

本节摘要：概率的公理化定义只有三条——非负性、规范性、可列可加性，却足以推出全部常用性质（容斥原理、对立事件公式、单调性）。当样本空间有限且等可能时，概率计算退化为"数数"：排列组合是数数的兵器谱。本节用帕斯卡亲自算过的"分赌注问题"与"生日攻击"两个案例，把手算与蒙特卡洛互证的流程完整走一遍。

三条公理：整座大厦的地基

1933 年柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）把此前两百八十年零散的概率知识压缩成三条公理。设 P 是把事件映成实数的函数：

1. 非负性：对任何事件 A，P(A) ≥ 0
2. 规范性：P(Ω) = 1
3. 可列可加性：两两互斥的事件列 A₁, A₂, … 满足 P(∪Aᵢ) = ΣP(Aᵢ)

就这三条。但从它们能推出你用的每一条性质，最常用的两条：对立事件公式 P(Aᶜ) = 1 − P(A)，以及容斥原理 P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)。后者正是 1.1 节"数两遍"教训的公理化版本——交集部分被加了两次，必须减回一次。三事件版本再多扣一加：P(A∪B∪C) = P(A)+P(B)+P(C) − P(AB) − P(AC) − P(BC) + P(ABC)，符号交替，像剥洋葱。

数数的兵器谱：加乘原理与排列组合

古典概型要求"有限 + 等可能"，此时 P(A) = A 的有利样本点数 ÷ 样本点总数，概率问题变成计数问题。计数只有两条母原理：分类相加、分步相乘。由它们派生四件兵器：

• 排列（有序取出）：从 n 个取 k 个，数 = n!/(n−k)!
• 组合（无序取出）：从 n 个取 k 个，数 = n!/(k!(n−k)!)，记 C(n,k)
• 有重复排列：k 个独立槽位各 n 种选择，数 = nᵏ
• 分组与隔板：n 个相同物品分进 r 个槽的方案数

选兵器的判断只看一件事：取出的元素讲究顺序吗。发牌到手讲究顺序吗？不讲究——用组合。逐位生成密码讲究顺序吗？讲究——用排列或重复排列。

案例：帕斯卡的分赌注问题

甲乙各押 32 枚金币赌掷硬币，先赢 3 局者拿走全部 64 枚。甲已胜 2 局、乙已胜 1 局时赌局被迫中断，怎么分才公平？按"已赢局数比例 2:1"分是直觉错误。正确思路：继续设想后面的比赛，甲最终获胜 = "下一局甲胜" 或 "下一局乙胜且再下一局甲胜" 或 "下两局乙都胜后第三局甲胜"之外……更干净的办法是数样本空间：最多再赛 2 局，共 4 种等可能结果，其中甲获胜的占 3 种。所以甲应得 64 × 3/4 = 48 枚，乙得 16 枚，比例 3:1 而不是 2:1。

from itertools import product
from fractions import Fraction

# 设想最多再赛两局，每局甲胜记 1，乙胜记 0
space = list(product([1, 0], repeat=2))
win_A = [s for s in space if sum(s) >= 1]     # 两局内甲至少胜一局即最终夺冠
p_A = Fraction(len(win_A), len(space))
print("甲获胜概率:", p_A)                      # 3/4
print("甲分得金币:", 64 * p_A, " 乙分得:", 64 * (1 - p_A))  # 48 / 16
​

这个 1654 年的答案当年靠通信往返争论，今天六行代码复现。它教的方法论很重要：中断分注看的是"若继续赌下去"的期望份额，不是已发生的战绩。

案例：生日攻击——为什么 23 个人就够

一个房间多少人，能让"至少两人同生日"的概率过半？直觉要 180 人，实际 23 人。手算走对立事件：n 人全不同生日的概率 = 365/365 × 364/365 × … × (365−n+1)/365，"至少两人相同" = 1 减它。这里"至少"触发了对立事件公式，连续乘积触发了分步乘法原理——两条公理性质的实战。

import numpy as np
from math import comb

def birthday_prob(n):
    # 对立事件：n 人生日两两不同
    p_diff = 1.0
    for k in range(n):
        p_diff *= (365 - k) / 365
    return 1 - p_diff

for n in [10, 23, 30, 50, 60]:
    print(f"n={n:3d}  至少两人同生日概率 {birthday_prob(n):.4f}")

rng = np.random.default_rng(7)
n, trials = 23, 100_000
sims = rng.integers(0, 365, size=(trials, n))
# 每次模拟中是否存在重复生日：唯一值个数少于 n 即有重复
dup = (np.array([len(np.unique(row)) for row in sims]) < n).mean()
print("n=23 蒙特卡洛模拟:", round(dup, 4))     # 约 0.507，对照手算 0.5073
​

手算 n=23 给 0.5073，模拟给 0.507 上下——一致。这个结论是密码学生日攻击的根基：只需约 √N 次尝试就能在大小为 N 的空间里以可观概率撞出碰撞，哈希表与哈希函数安全性的量级估计都从这里出发。

图 1-2 生日悖论曲线：直觉与真实的差距

顺带补一句几何概型

样本点无穷多但"等可能"仍有意义时，概率退化为长度、面积、体积之比。会面问题（两人随机到达，等不超过 15 分钟的概率）是经典例，答案 1 − (45/60)² = 0.4375。用均匀分布模拟即可复核，思路与前面完全一致，只是把"数点"换成"量面积"。

⚠️ 常见坑：等可能假设必须由试验机制保证，不是"不知道就当等可能"。硬币物理上匀称才有对称性；把"未知参数"当等可能处理是第 6 章贝叶斯估计里要严肃讨论的先验选择问题，不是免费假设。

本节要点回顾

• 三条公理推出一切：对立事件公式与容斥原理是使用频率最高的两条派生性质
• 计数先问顺序：有序排列、无序组合、可重复用幂，母原理只有分类相加与分步相乘
• "至少"型问题优先走对立事件：算补集往往从乘积和变成单项式
• 分赌注原则：中断分配取决于继续下去的获胜概率，而非已有战绩
• 生日悖论的量级 √N：碰撞类问题的普适尺度估计
• 手算 + 模拟互证是全册的标准工作流，本节两个案例都是完整示范