2.1 离散型随机变量与分布律

2.1 离散型随机变量与分布律

本节摘要：随机变量是把样本空间映到实数的函数，离散型只取有限或可数个值，其全部概率信息浓缩为分布律 P(X=xₖ)=pₖ，满足每项非负、总和为 1。本节以"押注两把骰子的 payout 设计"为主线，讲清分布律的构造、两变量联合分布律的读法，以及用模拟经验分布对照理论分布律的标准实验。

从"事件"升级到"金额"

第 1 章的赌约以事件表述："掷出大于 3 你赢"。赌徒真正记账的单位是金额，于是定义 X：掷出 4 或 5 赢 10 元记 +10，掷出 6 赢 20 元记 +20，其余输 15 元记 −15。X 是定义在样本空间上的实值函数——这就是随机变量的全部含义。所谓"研究 X 的统计规律"，就是回答：它取每个可能值各有多大概率。这张价目表叫分布律：

三项非负、合计为 1——任何合法分布律的两个充要条件。有了这张表，"这局不亏"的概率 = P(X≥0) = 3/6，"单局盈亏"的一切问题都能从表上查出来。分布律就是离散随机变量的完整档案，别的东西（期望、方差）都是它的派生统计量。

构造分布律：从计数到概率

构造分布律的通用三步：列出 X 的全部取值 → 数出每个取值对应的样本点 → 除以总样本点数（等可能情形）。看一个稍复杂的赌局：同时掷两颗骰子，X = 两颗中的最大点数。取值 1..6，对应样本点数依次为 1, 3, 5, 7, 9, 11（可画阶梯验证），分布律 P(X=k) = (2k−1)/36。这种"阶梯式"概率在"取两把武器留更好的那把"类游戏机制里反复出现。

import numpy as np
from collections import Counter
from fractions import Fraction

# 手算：两颗骰子最大点数的分布律
omega = [(i, j) for i in range(1, 7) for j in range(1, 7)]
X = [max(i, j) for i, j in omega]
law = Counter(X)
for k in sorted(law):
    print(f"P(max={k}) = {Fraction(law[k], 36)}")   # 1/36, 3/36, ..., 11/36

# 模拟：经验频率对照理论
rng = np.random.default_rng(5)
rolls = rng.integers(1, 7, size=(500_000, 2))
mx = rolls.max(axis=1)
for k in range(1, 7):
    print(f"k={k}  理论 {(2*k-1)/36:.4f}  模拟 {(mx == k).mean():.4f}")
​

理论与模拟逐行对齐（k=6 时 11/36 ≈ 0.3056 对 0.3056），这组对照输出本身就是"分布律被验证"的证据。

图 2-1 最大点数分布律的阶梯形态

联合分布律：两张价目表放在一起

赌局常有两个金额同时记账，比如两局各押一注（X₁, X₂）。联合分布律 P(X₁=a, X₂=b) 排成矩阵；若两局独立，矩阵每个格子的值等于两张边缘表对应项的乘积。边际分布律由矩阵按行、按列求和得到——**"求和掉一个变量"这个动作是边际化的全部**，第 4 章连续情形将再次出现。

import numpy as np

# 单局分布律同前：-15(3/6), 10(2/6), 20(1/6)
vals  = np.array([-15, 10, 20])
probs = np.array([3/6, 2/6, 1/6])
# 两局独立：联合分布律 = 外积
joint = np.outer(probs, probs)
total = (vals[:, None] + vals[None, :])   # 两局合计盈亏的取值矩阵

# 两局总盈亏的分布律：相同合计值概率合并
from collections import defaultdict
agg = defaultdict(float)
for i in range(3):
    for j in range(3):
        agg[total[i, j]] += joint[i, j]
for s in sorted(agg):
    print(f"两局合计 {s:+3d} 元  概率 {agg[s]:.4f}")
print("概率合计 = %.4f" % sum(agg.values()))   # 1.0000
​

输出给出两局总账的完整价目表（从 −30 到 +40 共 6 档），概率合计为 1 自检通过。独立情形下联合 = 边缘乘积这件事，外积一行代码就兑现；不独立的情形矩阵不再能拆成外积，判别方法第 4 章系统讲。

⚠️ 常见坑：分布律表里出现负值、或合计不为 1，是初学者手算最高频错误——每次列完表先做这两项自检，成本两秒钟。另一个坑是把 P(X=x) 与 P(X≤x) 混淆，后者已是分布函数的值，2.2 节专门辨析。

延伸练习：给赌局设计"止损线"

把分布律用活的另一种方式是决策设计。回到开篇价目表（−15 / 10 / 20 元），假设你可以加一条规则：连输两局后停止。这会改变净盈亏的分布形状——左尾被截短，但右尾也因提前离场而缩水。用模拟比较有无止损两种策略的分布差异：

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(58)
vals  = np.array([-15, 10, 20])
probs = np.array([0.5, 2/6, 1/6])
sessions = 200_000
def run_session(stop_rule):
    total, losses = 0, 0
    for _ in range(10):
        step = rng.choice(vals, p=probs)
        total += step
        losses = losses + 1 if step < 0 else 0
        if stop_rule and losses >= 2:
            break
    return total
plain = [run_session(False) for _ in range(sessions)]
stopd = [run_session(True)  for _ in range(sessions)]
print("无止损: 均值 %.2f 中位 %.1f" % (np.mean(plain), np.median(plain)))
print("有止损: 均值 %.2f 中位 %.1f" % (np.mean(stopd), np.median(stopd)))
​

值得盯住的结果：止损几乎不改变期望（提前离场省下的局本身期望为负，但也放弃了可能翻盘的局），主要改变的是分布尾部与中位数。这与第 1 章赌徒谬误的结论一脉相承——独立赌局里"势头"不存在，任何基于历史的止损规则都不能把负期望变成正期望，它只是风险偏好的表达。

本节要点回顾

• 随机变量是样本空间到实数的函数：让"结果"变成"金额"，概率论获得分析学的语言
• 分布律是离散随机变量的完整档案：合法条件为非负 + 总和为 1
• 构造三步法：列取值、数样本点、除总数；等可能机制是前提
• 联合 = 边缘的外积当且仅当独立；边际化就是按行或列求和
• 经验分布对照理论分布律是本册标准实验：五十万次模拟对齐到手算值
• 每张分布律表做两项自检：无负项、总和为 1