1.2 密度、粘度与表面张力

1.2 密度、粘度与表面张力

本节摘要：密度量度流体携带惯性与受重力的能力，粘度量度流体抵抗剪切变形的能力，表面张力量度流体界面收缩的趋势。三者构成流体最常用的三张"身份卡"。本节给出牛顿内摩擦定律、常用流体的量级表，并用 Python 复算毛细上升与粘度随温度的变化。

倒一杯水和倒一杯蜂蜜，差别一眼可见：蜂蜜挂在勺子上慢慢坠。两份液体密度差不到 1.5 倍，流动表现却差几个量级——主导这个差异的不是密度，是粘度。反过来，一滴水珠停在荷叶上不肯摊开，这跟粘度无关，是表面张力在收缩液面。物性参数就像流体的性格卡，看错一张卡，后面的计算全部白做。

一、密度：惯性与重力的载体

密度是单位体积的质量，水约 1000 kg/m³，空气约 1.2 kg/m³，比值接近 830 倍。这个比值解释了很多日常反差：风对你的推力远小于水流，即使两者速度相同；而船能浮起来、气球能升空，也都从密度差出发。密度还受温度影响——水在 4 °C 附近密度最大，这是湖底冬季保住 4 °C、水生生物越冬的物理原因。

液体密度随压力变化极小（见 1.3 节），气体密度则近似与压力成正比。做工程估算时记住两个数：水 1000，空气 1.2，单位 kg/m³。

二、粘度与牛顿内摩擦定律

在两层平行平板之间充满流体，下板固定、上板以速度 U 拖动。实验事实：紧贴壁面的流体速度与壁面相同（无滑移条件），中间流体速度线性过渡。维持上板运动需要的力正比于速度梯度：

剪应力 τ 等于动力粘度 μ 乘以速度梯度 du/dy。这就是牛顿内摩擦定律，满足这个线性关系的流体叫牛顿流体——水、空气、大部分油品和稀溶液都是。不满足的叫非牛顿流体：番茄酱摇一摇变稀（剪切变稀），淀粉浓浆越搅越硬（剪切增稠），牙膏挤一下才流（存在屈服应力）。

粘度对温度极其敏感，而且液体与气体方向相反：液体升温变稀（分子热运动摆脱束缚），气体升温变稠（动量交换更频繁）。发动机油标号里的"W"和数字，本质上就是在约定冷启动与高温运行两个工况下的粘度范围。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

T = np.linspace(0, 100, 21)                      # 摄氏度
mu_water = 1.787e-3 * (1 + 0.0337*T + 0.000221*T**2) ** -1   # 水的近似公式
mu_air   = 1.716e-5 * (T/273.15 + 1) ** 0.75                  # 空气 Sutherland 简化

print("温度   水粘度mPa·s   空气粘度uPa·s")
for t, mw, ma in zip(T[::5], mu_water[::5], mu_air[::5]):
    print(f"{t:4.0f}    {mw*1e3:7.3f}       {ma*1e6:7.2f}")
​

跑一下这张小表：水从 0 °C 到 100 °C 粘度降到不足五分之一，空气反而升到约 1.3 倍。这解释了为什么低温润滑油泵送困难、而高温轴承气膜反而更"稠"。

还常用运动粘度 ν = μ/ρ（单位 m²/s），因为它直接出现在雷诺数里：Re = U L / ν。水的 ν 约 1×10⁻⁶ m²/s，空气约 1.5×10⁻⁵ m²/s——空气的动力粘度虽只有水的约 2%，运动粘度却比水大 15 倍，因为密度小。这是很多人第一次算雷诺数时翻车的点。

三、表面张力：小尺度的主角

液体表面像一张绷紧的膜，每单位长度收缩力 σ（水约 0.072 N/m）。它源于界面分子缺少一半邻居、能量偏高，体系自发缩小界面。尺度越小，表面张力相对体积力越重要：把水珠直径从 1 cm 缩到 1 mm，重量降 1000 倍，表面能只降 100 倍——于是水滴挂在叶尖、昆虫在水面上滑行都成了表面张力的舞台。

经典定量案例是毛细上升：半径 r 的干净玻璃管插入水中，水面沿管壁爬升高度

h = 2σ cosθ / (ρ g r)，θ 为接触角（水与玻璃近似 0°）。

import numpy as np

sigma, rho, g = 0.0728, 998.0, 9.81      # 20 摄氏度水
for r_mm in [1.0, 0.5, 0.1, 0.02]:
    r = r_mm * 1e-3
    h = 2 * sigma / (rho * g * r)        # 完全润湿 cos 取 1
    print(f"管半径 {r_mm:5.2f} mm  毛细上升 {h*1e3:6.1f} mm")
​

半径 1 mm 的管只升约 15 mm；0.02 mm（与粉砂孔隙同量级）能升近 0.75 米——土壤能把地下水抽上来供养植物、砖墙返潮都是这个机理。做微流控芯片设计时，毛细力甚至是主动驱动手段，尺度缩小反而成了帮手。

⚠️ 常见坑：单位混乱。粘度表里 mPa·s 与 Pa·s 差一千倍；表面张力常被写成 mN/m，数值上等于 N/m 乘一千。算雷诺数前先把全部量折成 SI 基本单位，再动手。

物性速查表（常温常压近似值）

注意水银对玻璃不润湿（接触角约 140°），毛细管里不升反降——血压计 historically 用水银正是看中它密度大、不润湿玻璃、读数稳定。

四、非牛顿流体：跳出线性世界的工程账

线性内摩擦定律并非普适。刻画非线性程度的常用曲线是流动曲线：剪应力对剪切率作图，直线过原点是牛顿流体，往下弯（同一剪应力下剪切率更大）是剪切变稀，往上弯是剪切增稠，不通过原点、需要初始应力才流动的是宾汉塑性体。

工程含义直接而具体：原油管道在低温下呈屈服-假塑性，停输后再启动的压力必须高过屈服应力，否则整条管线"凝固"在原地——北方原油管线的加温输送与降凝剂注入，都是在改写这条流动曲线。钻井泥浆要求静止时悬浮岩屑（高静止粘度）、循环时低粘省泵功，配方设计就是在调它的剪切变稀程度。血液在微血管里粘度随管径变细而下降，这是纯牛顿模型预测不到的现象。

对这类流体做计算时，先把"粘度是常数"的习惯扔掉：N-S 方程里的粘性项要换成所选本构模型，数值上也更容易发散——这也是第 8 章 CFD 里非牛顿模块单独成篇的原因。

本节要点回顾

• 密度承载惯性与重力效应；液体近常密度，气体随压力显著变化；
• 牛顿内摩擦定律：剪应力正比于速度梯度，比例系数即动力粘度；液体升温变稀、气体升温变稠；
• 运动粘度 ν = μ/ρ 才是雷诺数里的角色，空气的运动粘度比水大一个量级；
• 表面张力是界面现象，尺度缩小一个量级，它的相对重要性上升一个量级，毛细上升公式是入门必算；
• 非牛顿流体不服从线性内摩擦定律，血液、聚合物熔体、泥浆的工程计算都要先确认本构模型。

下一节处理最后一张身份卡：压缩性——它决定你面对的是"水一样的"还是"气一样的"流动。