2.2 正弦稳态、相量与三相制
2.2 正弦稳态、相量与三相制
相量法用复数表示正弦量的幅值与初相，把电感电容的微分关系变成乘以 jω 的代数运算，使正弦稳态分析完全代数化。三相制则以三组相位互差 120 度的电源构成电力系统的标准供电方式。本节在手术台案件中引入相量阻抗与频响概念，并讲清三相的对称分析与不对称诊断。
一个反例开场：同一只电感，在 50 Hz 下测得阻抗 3.1Ω，搬到 10 kHz 电路里"变成"628Ω——元件没换，阻抗翻了二百倍。不理解频率对感抗容抗的影响，示波器上的很多波形就成了玄学。手术台案件这时也添了新线索：换上新电容后带载电压恢复正常，但开关频率处的纹波仍然偏大，滤波效果"差口气"。要解释它，必须进入频域。
相量：正弦量的复数替身
正弦稳态里，所有电压电流都是同频正弦波，区别只在幅值和初相。这两样信息恰好打包成一个复数——相量。求导运算在相量域等于乘以 jω，于是电感的 u = L·di/dt 变成 U = jωL·I，电容的 i = C·du/dt 变成 I = jωC·U。jωL 与 1/(jωC) 分别是感抗与容抗的复数形式，与电阻并列构成阻抗。整个正弦稳态电路由此变成"复数电阻网络"，KCL/KVL 照用，串联并联照算。
import numpy as np L = 100e-6 # 100 uH 滤波电感 C = 470e-6 # 470 uF 滤波电容 R = 2.0 # 负载等效电阻 for f in [50.0, 1e3, 2e4, 1e5]: w = 2*np.pi*f XL = w * L XC = 1 / (w * C) print(f"f={f:>8.0f} Hz 感抗={XL:10.3f} Ohm 容抗={XC:10.3f} Ohm")
频率升高时感抗线性增大、容抗反比减小——这正是"电感阻高频、电容通高频"的定量版。LC 滤波器能滤纹波，机理就是纹波频率上分压比极大：串联的大感抗 + 并联的小容抗。
import numpy as np # LC 低通滤波器的频响：|Vout/Vin|（忽略 ESR 与寄生） L, C, R = 100e-6, 470e-6, 2.0 freqs = np.array([50.0, 1e3, 5e3, 2e4, 1e5]) for f in freqs: w = 2*np.pi*f ZL = 1j*w*L ZC = 1 / (1j*w*C) H = (ZC * R / (ZC + R)) / (ZL + ZC * R / (ZC + R)) print(f"f={f:>8.0f} Hz 衰减 = {abs(H)*100:8.4f} %")
输出显示 20 kHz 开关频率处衰减到百分之几，1 MHz 处衰减超过 60 dB 量级。手术台案件里"纹波差口气"的原因也清楚了：旧电路按 100 μH/470 μH 设计的衰减，在 ESR 增大后高频段实测远差于理论——ESR 在高频下抬高了电容支路的阻抗，滤波器的高频"漏"就是这么来的。
图：LC 滤波器的频率选择性
功率因数与无功补偿
阻抗角 φ 的余弦就是功率因数。纯电阻 φ=0、功率因数为 1；感性负载 φ>0、电流滞后。提高功率因数就是给感性负载并联电容，让无功在负载附近就地循环，不去输电线上来回跑。用相量算一个补偿案例：
import numpy as np P = 50e3 # 有功 50 kW V = 380.0 # 线电压（三相按单相等效思路演示） pf0 = 0.70 # 补偿前功率因数 pf1 = 0.95 # 目标功率因数 phi0 = np.arccos(pf0) phi1 = np.arccos(pf1) Q_before = P * np.tan(phi0) Q_after = P * np.tan(phi1) print(f"补偿前无功 = {Q_before/1e3:.1f} kvar") print(f"补偿后无功 = {Q_after/1e3:.1f} kvar") print(f"需要电容提供无功 = {(Q_before-Q_after)/1e3:.1f} kvar")
50 kW 从 0.70 补到 0.95 需要约 43 kvar 电容。注意补偿的收益是线路电流下降约 26%（0.70/0.95），线损（与电流平方成正比）下降约 45%——这就是供电局对功率因数罚款/奖励的物理基础。
三相制：对称是福，不对称是病
三组幅值相等、相位互差 120 度的电源构成对称三相系统。对称时三相瞬时功率之和为常数（单相功率是脉动的，三相是平的），这是电机运转平稳、发电机受力均匀的根本原因；星形接法下中性线电流为零——三个相电流相量和为零。
分析对称三相电路的口诀是"化为一相"：星形负载每相阻抗除以...不，是把三相问题缩成单相回路（线电压除以根号 3 得相电压），解完再乘回。不对称时则不能化一相，中性线出现电流，此时用对称分量法把任意三相量分解为正序、负序、零序三组对称分量——负序分量是电机发热与振动的元凶，零序分量是接地故障的指纹。这套分解在第 6 章故障分析会正式返场。
import numpy as np # 对称三相的相量和验证 + 一相断线后的中性线电流 Va = 220 * np.exp(1j*0) Vb = 220 * np.exp(1j*(-2*np.pi/3)) Vc = 220 * np.exp(1j*(2*np.pi/3)) Z = 10.0 Ia, Ib, Ic = Va/Z, Vb/Z, Vc/Z print(f"对称时中性线电流 = {abs(Ia+Ib+Ic):.4f} A") # C 相断开（Ic=0），A/B 相负载接在线电压上 Zab = 10 + 10 # 两相串联接于线电压 I_line = (Va - Vb) / Zab Ia2 = I_line Ib2 = -I_line In = Ia2 + Ib2 print(f"C相断线时中性线电流幅值 = {abs(In):.3f} A")
对称时中性线电流严格为零；C 相断开后，中性线电流等于流经两健全相的电流——约十几安。这个数字解释了现场规程：三相不平衡负载的中性线截面不得小于相线，断零故障会让三相负载中点位移、轻载相过压烧毁设备。
本节要点回顾
- 相量把正弦量打包成复数，微积分变乘 jω，正弦稳态分析完全代数化；
- 感抗随频率线性升、容抗反比降，LC 滤波与"电感阻高频、电容旁路高频"同源；
- ESR 在高频抬高电容支路阻抗，是滤波器实测劣化的主因之一；
- 功率因数补偿的物理是"无功就地循环"，线损随电流平方下降；
- 对称三相可化一相求解；不对称必须用对称分量，负序致热、零序指地；
- 断零故障导致中点位移，轻载相过压——中性线规格与保护由此而来。
下一节把镜头拉到整机：当元件数上百，手算让位于节点电压法与计算机求解。