7.1 信号与线性时不变系统
7.1 信号与线性时不变系统
信号是承载信息的物理量随时间的变化，线性时不变（LTI）系统是满足叠加性与时不变性的变换，其全部行为由冲激响应（或等价的频率响应）唯一确定。本节从光伏电站的振荡疑云出发，讲清信号分类、卷积、频率响应与采样定理——把"看到波形"升级为"读懂信号"。
调度中心的曲线让值班员皱眉：光伏电站有功功率在 ±3% 范围内晃动，肉眼可见但不剧烈， SCADA 采样一分钟一点，看不出门道。有人说"风的影响"，有人说"数据噪声"。要终结争论，得先问一个信号分析的基本问题：这段数据里藏着哪些频率成分？
信号的分类：先给波形归档
信号按维度分一维（电压、功率）与多维（图像）；按取值分连续与离散；按规律分确定与随机。工程上有三类高频出场：周期信号（工频及其谐波，频谱是离散的线）；瞬态信号（开关投切、雷击，宽频带短脉冲）；随机信号（噪声，只能用统计量描述）。归档的意义在于选工具：周期信号用傅里叶级数，瞬态与宽带信号用傅里叶变换，随机信号用功率谱密度。
import numpy as np # 构造"振荡疑云"的模拟功率信号：缓变分量 + 8Hz 振荡 + 噪声 fs = 1000.0 # 采样率 1 kHz t = np.arange(0, 10, 1/fs) P_slow = 20 + 1.5*np.sin(2*np.pi*0.05*t) # 分钟级缓变 P_osc = 0.6*np.sin(2*np.pi*8*t) # 8 Hz 振荡分量 P_noise = 0.2*np.random.default_rng(7).normal(size=t.size) P = P_slow + P_osc + P_noise print(f"信号总时长 {t[-1]:.0f} s，样本数 {t.size}") print(f"振荡分量幅值/均值 = {0.6/20*100:.1f}% —— 与调度看到的 3% 峰峰值吻合")
卷积：LTI 系统的唯一档案
线性性（叠加成立）与时不变性（参数不随时间变）两个看似平淡的假设，推出一个极强的结论：LTI 系统对任意输入的响应，由它对单位冲激的响应完全决定——输出等于输入与冲激响应的卷积。工程含义深远：传感器、滤波器、放大器、电网动态，只要近似 LTI，就能用一次实验（测冲激响应或扫频）建立"档案"，此后任意输入的输出都可预测。
import numpy as np # 一阶 RC 低通滤波器：冲激响应与阶跃响应 R, C = 1e3, 100e-6 tau = R * C fs = 50e3 t = np.arange(0, 5*tau, 1/fs) h = (1/(R*C)) * np.exp(-t/tau) # 冲激响应 step_in = np.ones_like(t) y = tau * fs * np.convolve(h*1/fs*0 + h, np.ones(1)) # 演示用 # 直接积分验证：一阶系统阶跃响应 = 1 - exp(-t/tau) y_step = 1 - np.exp(-t/tau) y_conv = np.convolve(h, step_in) * (1/fs) y_conv = y_conv[:t.size] / 1.0 # h 的积分近似处理 print(f"时间常数 tau = {tau*1e3:.0f} ms") print(f"卷积结果与解析解的最大偏差 = {np.max(np.abs(y_conv - y_step)):.4f}")
卷积把"解微分方程"变成"查档案做乘加"。更妙的是频域视角：卷积在频域是乘法，LTI 系统对正弦输入的稳态响应仍是同频正弦，只是幅值乘上 |H(ω)|、相位移上 ∠H(ω)——正弦波是 LTI 系统的本征函数，这是下一节傅里叶分析的杠杆支点。
采样定理：量测的第一道设计约束
连续信号进入计算机必须采样。奈奎斯特-香农定理说：采样率超过信号最高频率两倍，信息才不丢失；不满足时，高于半采样率的成分混叠成低频假象——不是消失，是化装成别的频率骗你。
import numpy as np # 混叠演示：50 Hz 真实振荡在不同采样率下的"伪装" f_true = 50.0 for fs in [1000.0, 200.0, 80.0, 60.0]: fs_alias = abs(((f_true + fs/2) % fs) - fs/2) print(f"采样率 {fs:>6.0f} Hz: 50 Hz 成分表现为 {fs_alias:>6.1f} Hz " f"{'(保真)' if fs > 2*f_true else '(混叠!)'}")
80 Hz 采样时 50 Hz 混叠成 30 Hz，60 Hz 采样时混叠成 10 Hz——低频假振荡。光伏案最初之所以被当成"噪声"，正是因为 SCADA 的 1 Hz 采样把 8 Hz 振荡混叠成不规律的缓慢漂移。整改第一步：加装 1 kHz 高速录波。第二道防线是抗混叠模拟滤波器（采样前先把高频压下去），这是所有量测系统的标准双保险。
图：采样率不足时振荡的混叠伪装
从信号到系统：为什么振荡案属于控制问题
把功率信号的问题放一边，先看系统侧。电网 + 光伏逆变器组成一个大系统：逆变器不是理想电源，它有锁相环、电流环、直流电压环等多个动态环节，各自有带宽与相位特性。当这些环节与电网阻抗（第 6 章的阻抗模型在此复用）相互作用、在某频率形成正反馈，振荡就自持。分析它的语言正是本节的 LTI 框架加下一节的变换域工具——频域上，振荡就是某个频率处闭环增益越过了临界点。
💡 关键直觉：判断一段波动是"噪声"还是"振荡"，看两点——频率是否稳定（噪声无固定频率）、幅值是否与运行工况相关（振荡随工况迁移）。工程现场的"看着像噪声"，十有八九是采样率把振荡混叠了。
本节要点回顾
- 信号先归档再选工具：周期用级数、瞬态用变换、随机用功率谱；
- LTI 系统的全部行为由冲激响应/频率响应唯一决定，卷积就是"查档案做乘加"；
- 正弦波是 LTI 系统的本征函数——稳态响应同频、变幅、移相，这是频域方法的支点；
- 采样必须超过信号最高频率两倍，否则高频混叠成低频假象，抗混叠滤波器是标准前置；
- 光伏案初判失误源于 1 Hz 采样把 8 Hz 振荡混叠，高速录波是纠错第一步；
- 振荡与噪声的区分标准：频率稳定性与工况相关性。
下一节正式拿起傅里叶与拉普拉斯两把变换工具，把 8 Hz 分量从功率曲线里"提审"出来。