3.1 哈迪-温伯格平衡

3.1 哈迪-温伯格平衡

本节摘要：哈迪-温伯格平衡陈述的是：在随机交配且无任何进化力量的理想群体里，等位基因频率 p、q 一代之后即产生稳定的基因型频率 p²、2pq、q²，且此后不变。它的价值不在描述自然，而在充当零假设——实测基因型偏离这个比例，就提示某种力量（选型交配、选择、漂变）在起作用。本节推导该定理、演示统计检验、并用模拟观察它如何在真实力量下崩坏。

定理的推导：两行配子代数

设群体中等位 A 频率为 p，a 为 q = 1 − p。随机交配等价于从配子池中独立抽两个配子，于是：

• AA 频率 = p × p = p²
• Aa 频率 = 2 × p × q = 2pq（两种抽取顺序）
• aa 频率 = q²

关键的第二步常被忽略：子代基因型频率还原出等位频率 p' = p² + pq = p(p+q) = p——频率在代际间不变。平衡一代达成、之后永远保持。整个推导没有用到任何生物学细节，只用了"随机 + 独立"两个概率假设，这就是它普适的原因。

⚠️ 常见误读一：把 HWE 当成"自然群体的常态"。自然群体经常偏离它，偏离本身就是信息。误读二：把"群体符合 HWE"当成"没有在进化"。HWE 检验的是基因型比例，选择可以在不立刻破坏比例的情况下改变等位频率（例如隐性选择在若干代内仍近似 HWE）。

五条假设与各自的现实反例

演练一：平衡一代即达成

import random

def hwe_one_generation(p=0.3, N=10000, seed=0):
    """随机交配一代后，基因型频率是否等于 p2 2pq q2"""
    rng = random.Random(seed)
    pool = ["A"] * int(2 * N * p) + ["a"] * int(2 * N * (1 - p))
    counts = {"AA": 0, "Aa": 0, "aa": 0}
    for _ in range(N):
        g1, g2 = rng.choice(pool), rng.choice(pool)
        counts["".join(sorted(g1 + g2))] += 1
    return {k: v / N for k, v in counts.items()}

obs = hwe_one_generation(p=0.3)
exp = {"AA": 0.3**2, "Aa": 2 * 0.3 * 0.7, "aa": 0.7**2}
for k in ("AA", "Aa", "aa"):
    print(f"{k}: 实测 {obs[k]:.3f}  理论 {exp[k]:.3f}")
​

实测与理论在小数点后两位内吻合。把 N 改成 50，偏差立刻显现——抽样噪声本身就是小群体对 HWE 的偏离来源，这正是 3.3 节漂变的入口。

演练二：卡方检验找出"动手术的力量"

import random, math

def hwe_chi2(genotypes, p=None):
    """genotypes: dict AA/Aa/aa 计数；返回卡方统计量"""
    n = sum(genotypes.values())
    if p is None:
        p = (2 * genotypes["AA"] + genotypes["Aa"]) / (2 * n)
    q = 1 - p
    expected = {"AA": n * p * p, "Aa": n * 2 * p * q, "aa": n * q * q}
    chi2 = sum((genotypes[g] - expected[g]) ** 2 / expected[g]
               for g in ("AA", "Aa", "aa"))
    return chi2, expected

# 场景：近交群体杂合子偏少
rng = random.Random(4)
gt = {"AA": 320, "Aa": 100, "aa": 580}
chi2, exp = hwe_chi2(gt)
print(f"卡方 = {chi2:.1f}（自由度1，阈值3.84）")
print("期望:", {k: round(v) for k, v in exp.items()})
​

卡方远超 3.84，杂合子显著不足——典型的近交或选型交配信号。保护生物学用这一手估算濒危群体的近交程度：实测杂合子与 2pq 的落差，就是"群体正在缩小"的分子证据之一。

💡 关键直觉：HWE 之于种群遗传学，等于"匀速直线"之于牛顿力学。它不常见，但一切受力分析都以它为参照系。

本节要点回顾

• 推导只靠随机独立抽样：p²、2pq、q² 一代达成且自我维持
• HWE 是零假设：显著偏离提示近交、选择、漂变或结构化群体
• 小群体本身即偏离源，为下一节的确定性方程与随机模型各留了接口
• 检验用卡方，自由度 1（p 由数据估出消耗一个）

变式与延伸

三个可动手的扩展。扩展一：在演练一的代码里加"选型交配"——配子不再从公共池随机抽，而是让 T 配子更倾向与 T 配子结合（同型交配概率提高 20%），观察杂合子比例如何跌破 2pq。同型交配不改变等位频率，只重塑基因型结构——这解释了为什么近交群体的第一信号总是杂合度缺失而非等位丢失。

扩展二：构造一个瓦伦德群体结构（Wahlund effect）——把两个 p 不同的亚群体数据混合后当作单一群体检验 HWE，会得到杂合子不足的假信号。这是 HWE 检验最重要的"假阳性"来源，野外取样若跨越了结构边界，统计上的"近交"可能只是"取样混杂"。

扩展三：把 p 设为 0.05、N=100，重复 200 次模拟记录 q平方 的偏差方向。会看到小 p 时 aa 观测值离散度剧增——低频等位的 HWE 检验功效很低，这正是罕见遗传病等位频率估计需要特殊方法的原因。
顺带一个常用变体：把 HWE 公式用到 X 连锁或倍性不同的数据上要改写（X 连锁在雄性只有一个拷贝，平衡频率按性别分开算），直接套常染色体公式会得到假信号。所有"HWE 显著偏离"的结论，先排除技术混杂（基因型分型误差、零等位基因）再谈生物学解释，是分子生态学数据处理的例行防线。