1.2 随机过程与统计刻画

1.2 随机过程与统计刻画

无线信道的噪声和衰落都是说不准的量，本节的思路是"不跟单个波形较劲，转而度量一族的统计属性"：随机过程、均值与自相关、功率谱密度，以及贯穿全书的加性高斯白噪声模型，最后分清估计与检测这两类统计任务的界线。

学习目标

阅读完本节，你应当能够：

1. 说清随机过程与随机变量的差别，以及"平稳"到底承诺了什么。
2. 写出自相关函数与功率谱密度的一对傅里叶关系（维纳-辛钦），并解释它们各自的观察角度。
3. 拆解 AWGN 的"加性/高斯/白"三词各自的含义，以及在仿真里怎么产生一段符合 AWGN 序列。
4. 区分"估计某个连续参数"与"判别属于哪个假设"两类问题，能举出无线接收里的对应实例。

一、这条路的难点在随机

1.1 里我们待在确定性世界里：给出 x(t) 就能画出波形。可现实不给面子——接收到的信号等于发射信号叠上噪声，还乘了随信道起伏的衰落系数，任一次观测都是"开奖"。要是每次都画具体波形，你画的只是无数可能里的一次。

统计信号处理就这么走：不再关心某一次波形，而是描述"这一族波形"的规律。这正是把无线当观测站的关键——你看不清下一次噪声长什么样，但看得清它的平均功率和频率分布，而这些已足够做设计。

先立概念。随机变量 是取值为随机结果的一个数，用概率密度函数 PDF 描述，均值 E 与方差给它的"中心"和"散布"。随机过程 是随时间展开的一族随机变量——信道增益随秒变化的曲线就是一条随机过程。要描述一个随机过程，理论上需要它每个时刻的分布，太多了。于是引入简化假设。

二、平稳与两件大杀器

平稳 是统计意义上的"不随时间漂移"。最常用的是宽松版宽平稳（WSS）：均值恒定，自相关函数只取决于时间差 τ 而不是绝对时刻。无线信道的快衰落只要观察窗口没跑到信道相关性长度之外，就能近似当宽平稳看——这是它被全世界仿真器滥用的原因。

对称地给出两件观测大杀器：

• 自相关函数 R(τ)：描述过程相隔 τ 的两个点有多相似。τ=0 处就是平均功率。
• 功率谱密度 PSD：把功率摊到频率轴上，看每个频率占多大力气。宽平稳过程下，R(τ) 的傅里叶变换就是 PSD，这就是维纳-辛钦定理——时域的相似度，和频域的功率分布，是同一枚硬币的两面。

对设计直觉最有用的一点：自相关越窄，频谱越宽。白噪声几乎无自相关、功率谱平直，于是给人"白"字。扩射程到通信：我们说某信号"带宽窄"，说到底是它想在一段时间内维持相似、从而把功率集中在低频附近。

宽平稳的实用价值在你能用"时间平均"顶替"系综平均"。系综平均要另起一次一模一样、只是随机数不同的实验，现实中做不到；而一旦承认 WSS，你让同一段掠过多径的衰落序列跑足够久，统计出的均值、方差、自相关就逼近它一族分布的真值。下面这段就用一段样本估计出均值和方差，这就是所有链路仿真给信道"建档"的第一步：

import numpy as np
np.random.seed(0)
N = 200000
x = 2.0 + 1.0 * np.random.randn(N)        # 理论均值 2、方差 1 的平稳过程
xbar = x.mean()                            # 时间平均近似系综平均
var = x.var(ddof=1)
print("估得均值=", round(xbar,3), " 估得方差=", round(var,3))
# 序列越长，估计越接近真实 (2, 1)——这就是大数定律在帮忙
​

采样点越多、时间窗越长，这两颗读数越稳，但代价是等待更久——信道相干时间短时，你根本攒不够样本，这正是后面做信道估计必须"趁信道还记得现状时赶紧估"的深层原因。

功率谱密度与带宽示意

窄带把功率挤在几根频率里，频谱效率高；宽带把功率摊开，抗多径和延迟裕度更好。这个"摊开还是聚拢"的权衡，直接对应 OFDM 单载波对多载波、扩频对窄带的选型直觉。

三、AWGN：能把不可能简单化的噪声模型

无线信道噪声建模，几乎都从加性高斯白噪声开始。拆成三词：

• 加性：噪声直接叠加在信号上，y=x+n，不是乘性。乘性的是衰落，后面章节处理。
• 高斯：幅度服从高斯分布。抓一把中心极限定理——大量独立微扰叠加就近似高斯，热噪声正符合。
• 白：PSD 在所用带宽内近似平直，自相关只在零延迟处有尖峰。

靠这三词，接收问题写成一个清爽的模型，容量、误码率、检测理论全部从它出发。仿真里生成 AWGN 的写法定式如下——读通信代码时几乎都会碰到这一小段。

import numpy as np
N = 10000
noise_power = 1.0
n = np.sqrt(noise_power) * np.random.randn(N)   # 单位方差高斯噪声
# 对给定信噪比 SNR 的信号叠加：
# signal_power / noise_power = 10 ** (SNR_db / 10)
​

高斯导致的一切好性质，来自它只由均值与方差两个参数决定——实体观测站维护起来也只需要这两个读数。

值得强调"白"其实是理想化：真实热噪声的功率谱在极宽频段上近似平直，但总有带外滚落和器件引入的有色成分。工程上"够白就行"——只要在你关心的带宽内谱足够平、且相邻样本基本无关，就按白噪声处理。判据也很朴素：把你系统的带宽 B 代进噪声功率公式，噪声功率随带宽线性增长，这正是"带宽越大、攒的噪越多"的总纲，也是接收前端总要先做一次窄带滤波才往下走的理由，因为没用的带宽只会白白捞进噪声。

四、估计与检测：统计任务分岔口

随机模型搭好后，接收方要干两类事：

• 估计：问"参数值是多少"，比如想估计信道增益 h 或信号功率，用 MMSE、最大似然等方法给一个数并带个方差。
• 检测：问"该选哪个假设"，比如判断发的是 0 还是 1，答案是离散选择，代价是误判率。

直觉区分：估计是在连续尺子上读数，检测是在能选项里选格。错误定义也不一样——估计比误差大小，检测比选错概率。后面第四章的均衡算估计，解调算检测；第五章的匹配滤波与相关检测是检测的经典工具。

本节要点回顾

• 随机过程描述一族波形，宽平稳承诺"均值恒定、自相关只看时差"。
• 自相关与功率谱密度互为傅里叶对：窄时域宽频域、宽时域窄频域。
• AWGN 的加性/高斯/白三层含义，是全书最常出现的噪声默认值。
• 估计给连续数值，检测给离散判断，二者错误度量不同。
• 随机波形的统计量（功率、PSD）是后续容量与误码率分析的地基。

下一节用 1.1 与 1.2 的两套语言回答天花板问题：这条信道上最多能可靠传多快？