2.2 季节性 Seasonality：固定周期

2.2 季节性 Seasonality：固定周期的"指纹"模式

本节摘要：季节性是固定周期（7 天、12 个月、24 小时）重复出现的有规律模式。本节给出季节性的工程定义、季节性子序列图的画法，并通过 ACF 在 lag=7、14、21 等位置出现周期峰来识别周季节性。

读完你能做什么

阅读完本节，你应当能够：

1. 写出季节性的工程定义，强调"周期固定"这一关键词。
2. 用季节性子序列图（seasonal subseries plot）把周期模式直观化。
3. 通过 ACF 在固定 lag 处的周期峰识别周/月/年季节性。

本节跳出 2.1 的"长方向"视角，把焦点切到"短周期"。先给季节性下定义，再用代码画子序列图、读 ACF 周期峰，最后区分硬季节性 / 软季节性 / 多重季节性。

一、季节性的工程定义

季节性是这样一类信号：它在已知长度的固定周期内重复出现，且周期长度不会随时间漂移。常见周期：

注意：上面这些周期的"固定"是日历意义上的固定——每天 24 小时、每周 7 天、每年 12 个月。业务上"双 11 那种每年只有一天的活动"严格说不是季节性（周期太长、信号太窄），更接近"脉冲事件"或"日历效应"，要单独处理。

二、季节性子序列图：把周期模式画出来

可视化季节性最经典的方法是季节性子序列图——把同一周期位置的所有观测画在一张小盒图或折线图上：

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 构造 2 年日数据：明显周季节性 + 趋势 + 噪声
rng = np.random.default_rng(3)
n = 365 * 2
trend = np.linspace(100, 200, n)
weekly = np.tile([0, -10, -10, -5, 5, 25, 30], n // 7 + 1)[:n]
y = trend + weekly + rng.normal(0, 3, n)
s = pd.Series(y, index=pd.date_range("2023-01-02", periods=n))  # 周一开头

# 关键：把"星期几"作为分类轴
s_df = s.to_frame("y")
s_df["weekday"] = s_df.index.dayofweek  # 0=周一, 6=周日

# 季节性子序列图：每周对应的观测画在第 1 张图，每个星期几画在第 2 张图
fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 6))
axes[0].plot(s.index, s.values, lw=0.6)
axes[0].set_title("原始时序（含周季节性）")
axes[1].boxplot([s_df[s_df.weekday == d]["y"].values for d in range(7)],
                labels=["Mon","Tue","Wed","Thu","Fri","Sat","Sun"])
axes[1].set_title("按星期几的盒图（季节性模式可见）")
plt.tight_layout()
​

输出上，原始时序图看起来是缠绕的曲线，但盒图会清晰地展示"周末高、工作日低"或"周一低谷、周五高峰"等模式。季节性子序列图比原始时序图更容易一眼看出"是否存在季节性"以及"季节性长什么样"。

三、用 ACF 在固定 lag 处找周期峰

第二种识别季节性的方法是看自相关函数（ACF）。如果序列有周季节性，ACF 在 lag=7、14、21、28…这些位置会出现明显的局部峰。

from statsmodels.tsa.stattools import acf

acf_vals = acf(s, nlags=35, fft=True)
# 把 lag=7、14、21、28 处的值打印出来
for lag in [1, 7, 14, 21, 28]:
    print(f"ACF(lag={lag}) = {acf_vals[lag]:.3f}")
# 预期：ACF(7) 较高，ACF(14) 也较高，但比 ACF(7) 略低；非 7 倍数的 lag 接近 0
​

如果你的数据有月季节性，ACF 在 lag=12（月度）或 lag=365（年度）会出现峰；如果有日季节性，lag=24（小时数据）或 lag=1440（分钟数据）会出现峰。**关键不是峰绝对值多大，而是峰是否出现在"7 / 12 / 24 / 365"等业务周期位置**。

💡 关键直觉：ACF 峰的位置比峰值大小更值得看。一个 lag=7 处的小峰（0.2）也比 lag=3 处的大峰（0.6）更能说明"周季节性"。

四、季节性的"硬"识别 vs "软"识别

工程上分两类识别：

• 硬季节性：日历事件完全决定——比如"每周一到周五 9 点早高峰的地铁客流量"。这种序列的 ACF 在固定 lag 处的峰非常显著。
• 软季节性：受外部因素调节——比如"周末效应在夏季比冬季更明显"。这种序列的 ACF 峰存在但会被干扰，更适合用 STL 分解、Prophet 的 seasonal Fourier 项建模。

五、多重季节性

复杂业务里常常同时有多个周期。比如电商平台同时有：

• 24 小时周期（白天 vs 夜晚）
• 7 天周期（工作日 vs 周末）
• 12 个月周期（双 11、618、年货节）

这种"多重季节性"对 SARIMA 这种"只能建模一个季节周期"的方法是个挑战——MSTL（Multiple STL）、Prophet 的多 Fourier 项、NeuralForecast 的 NHITS 等新一代方法就是为了处理多重季节性而设计的。第七章会再展开。

本节要点回顾

• 季节性的关键词：固定周期。日历意义而不是物理意义。
• 可视化方法：季节性子序列图（按周期位置分组画盒图）比原始折线图更直观。
• ACF 识别：看 lag=7/12/24/365 处的局部峰。峰位置比峰值大小更重要。
• 硬季节性 vs 软季节性：硬季节性是日历决定；软季节性受外部因素调节。
• 多重季节性：MSTL、Prophet 多 Fourier 项等新一代方法是答案。
• 下一节线索：2.3 看另一种重复模式——周期性。它和季节性像但有一个关键区别：周期长度不固定。

图：固定周期 vs 非固定周期的 ACF 指纹