6.5 演化博弈：种群动态与演化稳定策略

6.5 演化博弈：种群动态与演化稳定策略

摘要：演化博弈去掉理性假设——策略不是选择而是天赋，好策略靠更高的适应度繁殖胜出。本节讲复制者动态方程、演化稳定策略（ESS）的侵入测试、鹰鸽博弈的种群比例平衡，并用代码模拟策略频率的世代演化与突变入侵，最后把这条路线接回多智能体学习。

池塘里的甲虫不会计算纳什均衡，但它们争夺地盘的行为恰好落在均衡附近；会馆前几课的"理性镇民"假设在这里被整个扔掉。演化博弈论源自生物学的观察：把策略当作天生的表型、把收益当作适应度（繁殖成功率），种群比例的变化本身就构成一种"求解"——不需要任何个体会算计，差的策略繁殖得慢，就会被稀释出局。这一课是会馆的收官，也是第 7 章学堂的暗门：多智能体学习里的策略演化，数学骨架跟这里一模一样。

复制者动态：种群怎么"解"博弈

设种群里有两类策略，鹰派（死斗到底）与鸽派（虚张声势、遇硬就退）。争夺价值为二的资源，斗殴成本为四：鹰对鹰两败俱伤各得负一；鹰对鸽，鹰白得二、鸽空手；鸽对鸽，和平分食各得一。写成矩阵：

关键的问题变了：不再是"哪个策略理性"，而是"鹰的比例会怎么变"。复制者动态给出答案：某策略的占比变化率，正比于它的当前占比乘以（它的适应度减去种群平均适应度）。比平均分高的策略扩张，比平均分低的收缩——这几乎就是把"适者生存"写成微分方程。纯鹰种群会被偶尔混入的鸽沾光（鹰互斗亏血，鸽白蹭和平），纯鸽种群会被混入的鹰碾压（鸽遇鹰空手，鹰白吃）——两头都不稳定，种群被推向社会生物学经典的中间比例：鹰的比例停在资源价值除以斗争成本的位置（本例即二比四，一半对一半）。

图 6-5 鹰鸽博弈的复制动态：两个不稳定端点与一个稳定内点

ESS：抗入侵的策略

稳定内点说的是种群比例；换到"策略能不能守住阵地"的角度，演化稳定策略（ESS）的定义是侵入测试：原生策略面对小股突变策略入侵，若原生者的适应度严格高于突变者（或相等时原生者对阵原生者也占优），它就是 ESS。直观理解：ESS 是"已被大多数采用时无法被任何小团体颠覆"的策略。它与纳什均衡的关系是精炼而非并列：ESS 必是纳什均衡，纳什均衡未必是 ESS（均衡只要求单方面偏离无利，ESS 还要求顶得住任意小比例的集体突变——更严的稳定性）。鹰鸽博弈没有纯策略 ESS，稳定的是那个比例（对应混合策略均衡）——自然界里好斗个体的比例、性别比、领地策略的分布，大量落在这样的演化稳定点上。

代码实验一：复制者动态模拟

把微分方程离散成世代循环：每代随机配对打鹰鸽博弈，按适应度按比例繁殖下一代，打印鹰占比的世代轨迹。

import random

V, C = 2.0, 4.0                      # 资源价值 与 斗争成本
def payoff(s1, s2):
    if s1 == "hawk" and s2 == "hawk":
        return (V - C) / 2
    if s1 == "hawk":
        return V
    if s2 == "hawk":
        return 0.0
    return V / 2

def fitness(strategy, hawk_share):
    """随机对手下策略的期望适应度。"""
    return (hawk_share * payoff(strategy, "hawk")
            + (1 - hawk_share) * payoff(strategy, "dove"))

def replicate(x0=0.9, gens=40, step=0.5):
    """x0＝初始鹰占比；按复制动态逐代更新。"""
    x = x0
    traj = []
    for g in range(gens):
        f_h = fitness("hawk", x)
        f_d = fitness("dove", x)
        mean = x * f_h + (1 - x) * f_d
        x = x + step * x * (f_h - mean) / max(abs(mean), 1e-9)
        x = min(max(x, 0.0), 1.0)
        traj.append(round(x, 3))
    return traj

print("从 0.9 出发:", replicate(0.9)[::8])
print("从 0.1 出发:", replicate(0.1)[::8])
print("从 0.5 出发:", replicate(0.5)[::8])
​

三条轨迹殊途同归：无论开局鹰多鹰少，占比都滑向中间的稳定点（理论值恰为一半）；从一半出发则纹丝不动。种群自己会"解"这道方程，不需要任何一只甲虫懂数学。把参数 V 改小（资源变贱）或 C 改大（打斗更伤），稳定点左移——资源越不值钱、冲突越昂贵，种群越温和，这就是演化版的社会学。

代码实验二：入侵测试

ESS 的定义是抗入侵。让鸽派种群、鹰派种群、混合种群各自面对小股鹰突变或鸽突变，看谁守得住。

def invasion_test(resident_share, mutant="hawk", fraction=0.05):
    """在鹰占比 resident_share 的种群中放入 fraction 的突变者，
    比较双方适应度。返回 (居民适应度, 突变者适应度, 结论)。"""
    x = resident_share * (1 - fraction)          # 居民中的鹰仍按原比例
    if mutant == "hawk":
        f_res = (resident_share * fitness("hawk", x + fraction)
                 + (1 - resident_share) * fitness("dove", x + fraction))
        f_mut = fitness("hawk", x + fraction)
    else:
        f_res = (resident_share * fitness("hawk", x)
                 + (1 - resident_share) * fitness("dove", x))
        f_mut = fitness("dove", x)
    verdict = "居民守住" if f_res > f_mut + 1e-9 else \
              ("突变者扩张" if f_mut > f_res + 1e-9 else "五五开")
    return round(f_res, 3), round(f_mut, 3), verdict

print("全鸽居民 vs 鹰突变:", invasion_test(0.0, "hawk"))
print("全鹰居民 vs 鸽突变:", invasion_test(1.0, "dove"))
print("半鹰居民 vs 鹰突变:", invasion_test(0.5, "hawk"))
print("半鹰居民 vs 鸽突变:", invasion_test(0.5, "dove"))
​

输出印证图上的标注：两个纯种群都守不住（任何突变都能沾光），只有中间比例的种群对两类突变都免疫——它就是这个博弈的演化稳定状态。值得一提的是有限种群的修正：真实种群不是无穷大，随机漂移会扰动频率，小种群里的稳定策略可能被运气掀翻——演化稳定的"稳定"，是统计意义上的稳定。

⚠️ 常见坑：把 ESS 直接当成"演化终点"。环境一变（收益矩阵的参数变了），原来的 ESS 可能瞬间变成不稳定点，种群开始新一轮漂变；共演化场景下（对手也在变，比如寄生与宿主的军备竞赛），稳定点是移动靶。给 MAS 用演化视角时，先问收益矩阵由谁定、会不会动。

💡 关键直觉：演化博弈给了纳什均衡一个不需要理性的地基——均衡不一定是算出来的，可以是筛出来的。第 7 章的多智能体强化学习正是同一思想的算法版：把"繁殖"换成"策略概率的更新"，复制者动态与某些学习算法在数学上被证明会收敛到同一类平衡点。会馆与学堂，在这里打通了地下室。

沙盘推演小结

会馆密室的沙盘上摆着一池甲虫：放进九成好斗的，几代后池塘回到一半对一半；放进九成温和的，同样回到一半对一半。镇长若有所思地在册子上添了最后一行：稳定是筛选的结果，不是选择的结果。至此会馆六课全部结业——博弈论的六把钥匙（语言、均衡、时间、设计、演化、加上前面的声誉）都已在手。下一章进学堂：让镇民不再靠天吃饭的突变，而是自己学着变强。