2.1 扩散过程与马尔可夫链

2.1 扩散过程与马尔可夫链

前向扩散逐步向图像掺入高斯噪声，直到图像完全变成随机噪声，且每一步只依赖上一步的状态，构成一条马尔可夫链。本节给出加噪递推式与噪声调度曲线，解释调度参数怎样控制"多快把画稿泡没"。

这一节只做半件事：把"加噪"这半程讲透。很多人读扩散原理卡住，卡法高度一致——他们想一口气同时吃掉加噪与去噪，结果一半人先被公式劝退。我的建议是反过来，先只盯加噪，把它当作一道纯粹的"破坏性工序"来理解：你有张干净画稿，现在按节奏往上面洒墨、加颗粒，直到它面目全非。至于怎么捞回来，那是下一节的事。搞懂"破坏"这道工序，等于给"恢复"那道工序铺好了对称的地基——破坏是均匀的、可记录的，恢复才有迹可循。

前向过程的递推招式

设清晰图像为 x0。前向过程想构造一批越来越糊的中间态 x1, x2, ..., xT。最简单也最常用的构造方式，是在每一步按固定比例把上一状态往标准噪声方向推一点，写成递推式：

x_{t} = sqrt(1 - beta_t) * x_{t-1} + sqrt(beta_t) * eps_t

其中 beta_t 是一个随步数变化的调度参数，eps_t 是标准正态噪声。注意两个系数：sqrt(1 - beta_t) 负责把上一状态的"信号"略为衰减，sqrt(beta_t) 负责注入"噪声分量"。beta_t 越大，这一步往里灌的噪声越多、信号被压得越狠。调度一般取递增，比如线性从 0.0001 升到 0.02，也就是越到后面，越是在已糊的画稿上继续糊。当 t 足够大（比如 1000 步），信号衰减到接近零，x_T 就几乎只剩噪声。

这串递推最漂亮的性质，是它"只看前一步"——当前状态 x_t 由 x_{t-1} 和一个随机噪声决定，不依赖更早的历史。这正是一个马尔可夫过程。换句话说，噪声怎么糊成的这盘账，只跟它的上一版有关，左边整段历史都可以不管。这个性质让前向过程极其简单可控，也让训练时能"跳步"采样本（下面会看到）。

噪声调度曲线长什么样

为了直观感受"多快泡没"，把调度画成曲线最清楚：

图标题：线性噪声调度的信号与噪声曲线

红色曲线代表注入噪声的权重，随步数走高；蓝色曲线代表保留信号的权重，随步数衰减。两条线在约中段交错——这意味着调度设计得越"缓"，画稿支撑得越久；升得越陡，泡得越快。第三章谈一致性模型时的"时间步信息"，就跟这条曲线的形状（方根、余弦等）直接挂钩，不同形状决定模型感知"现在糊到什么程度"的依据。

训练为何要"跳步"

到这里有个聪明的地方：因为递推只看前一步，我们可以只用一个公式把任意 x_t 直接从 x0 算出来，而不必真的从 x0 一步一步加噪到 x_t。也就是给定 x0 和总的累计噪声，x_t 有个闭式表达式。这意味着训练时不必生成整条链，只需随机抽一步 t、按闭式算出一个"半糊"样本，就能当合法输入喂给网络去学"怎么在这步去噪"。这一步不要小看：它把训练成本从"必须整条链仿真"降成"抽一步就算"，是扩散能被广泛训练的前提。它的本质，就是吃了马尔可夫"只看前一步"的便宜。

一个很容易翻车的认知点是：调度参数 beta_t 是事先定死的"艺术决定"，不是训练得出来的。它决定把画稿泡多快、泡多均匀，你换调度等于换一种"破坏节奏"；后面一致性模型甚至直接改变这条曲线的形状来换取更少步数。

一张手算的"泡墨"样例

为了把公式落到纸面，我们做一个极简的数值演练。设画稿的某一点亮度信号为 x0 = 1.0，选择 beta_t = 0.9，则 sqrt(1 - beta_t) ≈ 0.316，sqrt(beta_t) ≈ 0.949。代入递推式：

对比一下：若把 beta 降到 0.1，sqrt(1−beta) ≈ 0.949、sqrt(beta) ≈ 0.316，同样喂 1.0 和 0.5，结果 ≈ 1.11，信号几乎被原样保留，只掺了一点点噪声。这就是"高 beta 泡得快、低 beta 泡得慢"的直观来源。工程里因此会把调度设计成"前面几大步衰减快、越靠近纯噪声步越细"，让中间态分布得足够细腻，才好让逆向网络有平滑的路径可以学。

调度形状的三个可选代表

要是以为调度曲线只有一条直线，那你会错过一大半的"手感"。实践中常见的是三条家族——线性（beta 随步数均匀递增）、余弦、方根式。它们的差异集中在中间段"泡墨"的快慢：余弦曲线在中段明显更平缓，意味着模型在信息还多的那一段能分出更多分辨率去学细节，因此如今不少实现用余弦替换线性，换取整体采样质量的稳定；方根式则把高噪声端拉得更满，直接服务于"更少步数也保得住结构"的一致性模型。读懂这个差异，你就明白为什么同一次模型、只换一个调度文件，成图的观感都会不同——你实际换的是"把画稿泡到纯噪声的分寸感"，而这分寸感恰恰决定了逆向网络每一步能学到的信号密度。

为什么"只看前一步"这么值钱

把马尔可夫性再放大一点：它不是数学上的漂亮标签，而是整个模型能被工程化的杠杆。因为它只看前一步，前向链可以被折叠成一个闭式采样式；也因为它只看前一步，采样加速（第二章后半）可以设计"不那么死板地走满每一步"的等距稀疏路径。可以说，扩散之后那些又粗又快的高级采样器，全部建立在"前向本来就不必一格一格实地走"这个直觉之上。看懂它，你读 2.4 节的 DDIM 会轻松很多。

⚠️ 常见坑：把 beta 当作可学习参数——它是一份固定超参，参与定义前向过程，而不参与反向网络参数的优化。
💡 关键直觉：前向过程其实是"照本宣科地破坏"，真正有学习负担的是下一节的逆向；先让破坏服服帖帖，恢复才有章法可循。

本节要点回顾

• 前向递推式：当前态由上一态按 sqrt(1-bt) 衰减信号、sqrt(bt) 加噪声构成。
• 马尔可夫性：当前状态只看前一步，是跳步采样与闭式计算的前提。
• 调度曲线：beta 随步数递增，信号衰减与噪声抬升在曲线中段交汇。
• 闭式一步到位：指定 x0 可直接算出任意 x_t，训练时才做得到逐批采样。
• 与后续接口：曲线形状影响时间步编码，也奠定第三章一致性模型改变曲线形状以压缩步数的依据。

下一节接棒：我们把"破坏"翻过来，看逆向过程如何用一个神经网络一步步把噪点擦净。