4.4 VQE 与 QAOA：近期设备上的变分算法

4.4 VQE 与 QAOA：近期设备上的变分算法

本节摘要：VQE 与 QAOA 代表量子算法的另一路线：不追求一次读出精确答案，而是让量子设备反复制备带参数的试探态、测量能量或期望值，把"该转多少角度"的决定权交给经典优化器。线路浅、对噪声宽容、当下几十比特设备就能跑——代价是精度受限且不再有复杂度保证。本节讲清两者的共同骨架、各自分工，以及它们与 Grover 的结构亲缘。

为什么需要一条务实路线

前三个算法有个共同的奢侈前提：线路要深、门要准。DJ 只几十个门还好；Grover 要嵌套多受控门；Shor 的模乘电路动辄上万门，还必须叠上纠错。而 2019 年以来的设备（所谓 NISQ，含噪声中等规模量子）单门错误率万分之几、相干时间百微秒量级，深度超过几百层的线路基本是在给噪声打工。

变分算法的应对思路：把算法拆成量子制备、经典决策两层。量子侧只跑浅线路，负责制造经典模拟不动的态并测出期望值；经典侧拿着测量结果调参数。两个世界各自干擅长的事，深线路的活儿交给循环去逼近，而不是一次性硬算。

VQE：为分子基态估能量

VQE（变分量子特征值求解器）解决的问题是量子化学的刚需：给定分子哈密顿量 H，估计基态能量 E₀——能量越低结构越稳，算准它等于算准分子的性格。经典方法（如变分法配合行列式展开）在强关联体系上指数爆炸，而模拟量子系统的行为正是量子设备的天赋（还记得第一章费曼的初衷吗）。

依据是变分原理：对任何试探态 |ψ(θ)⟩，能量期望 E(θ) = ⟨ψ(θ)|H|ψ(θ)⟩ 永远不低于真基态能量。于是只需要一枚"下界探测器"：

循环：
  ① 量子：制备试探态 |ψ(θ)⟩（参数化线路 ansatz，深度固定且浅）
  ② 量子：测量各泡利项的期望值（H 拆成可测项的加权和）
  ③ 经典：拼出 E(θ)，交给优化器（梯度下降类）更新 θ
  ④ 直到 E 收敛 → 输出基态能量的上界估计
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试探态设计的学问在②里被低估了：H 要拆成许多泡利串（如 Z₀Z₁、X₀Y₁Z₂）分别测量，项数随分子尺度增长——这项"测量开销"是 VQE 实际跑起来最重的成本之一，也是当前研究的主战场。

QAOA：组合优化的层叠干涉

QAOA（量子近似优化算法）瞄准的是组合优化：给定目标 C（比如 MaxCut 图切割），求使 C 最优的输入串。它的线路结构直接脱胎于 Grover 的几何：

p 层重复，每层两个操作、两组参数 (γk, βk)：
  exp(−i γk C)     —— 按问题哈密顿量"演化"，给好答案与坏答案不同的相位
  exp(−i βk B)     —— 混合操作（每比特的 X 旋转），防止过早坍缩
末端测量，统计里高概率出现近似最优解

层数 p=1 时与 Grover 的"相位翻转+扩散"几乎同构；
Grover 把角度定为几何最优，QAOA 把角度交给经典优化器去调。
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这就是 4.2 节预告的亲缘：同一套干涉几何，Grover 精确解角度，QAOA 经典搜索角度。p 增大表达能力变强，线路也变深——工程上通常在小 p（个位数）里找甜点。QAOA 不保证全局最优，它卖的是"在某些图结构上以高概率拿到好近似解"，这正是物流、排班、金融组合类问题的实用定义。

双子星对比表

一段可运行的迷你 VQE

用 H₂ 分子的两比特缩并模型走一遍全流程（参数与哈密顿取标准教材值）：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.quantum_info import Statevector

# H2 缩并哈密顿（单位：哈特里），拆成泡利串加权和
coeff = [(-1.0523, "II"), (0.3979, "IZ"), (-0.3979, "ZI"),
         (-0.0113, "ZZ"), (0.1809, "XX")]

def energy(theta):
    qc = QuantumCircuit(2)
    qc.ry(theta[0], 0)          # ansatz：一层参数化旋转（真实 VQE 更深）
    qc.cx(0, 1)
    qc.ry(theta[1], 1)
    state = Statevector(qc).data
    E = 0.0
    for c, label in coeff:
        # 泡利串期望值（演示中用态矢量直接算；真机改为逐项测量统计）
        op = pauli_matrix(label)
        E += c * np.real(state.conj() @ (op @ state))
    return E

result = minimize(energy, x0=[0.0, 0.0], method="COBYLA")
print(result.fun)   # ≈ -1.857：与 H₂ 基态能量的文献缩并值一致
​

这段代码在真机上改写的地方只有一处：泡利串期望值不再用态矢量点乘，而是对同一批参数反复制备、按泡利基旋转后统计计数。量子负责"态与计数"，经典负责"拼能量、调参数"——骨架与公式完全一致。

清醒看待变分路线

对变分算法要同时记住两句话。正面：它是当下唯一在真实硬件上有产出（分子能量基准、小规模优化对比实验）的算法家族，也是连接量子硬件与化学、金融行业的现实桥梁。反面：没有任何变分算法被证明在具体任务上超越最强经典算法；经典模拟器（张量网络）在中小规模上经常赢，"贫血高原"等优化病理也没有通用药方。把它理解为"量子硬件的试飞科目"比"颠覆计算"更接近事实——真正改变复杂度版图的仍是 Grover 与 Shor 那条线，等纠错到位。

本节要点回顾

• 变分 = 量子制备 + 经典优化：用浅线路循环逼近，换取对噪声的宽容。
• VQE 靠变分原理：任何试探态的能量期望都是基态上界，优化器一路下压。
• QAOA 是 Grover 的变分亲戚：相位层 + 混合层的角度交给经典搜索。
• 两句话都要记：当下最可跑的是它；复杂度保证仍在前三个算法那边。

算法章到此收官。接下来把镜头从数学转向物理：这些线路终归要在超导电路、离子阱里跑起来，硬件给了什么约束、又如何用纠错与软件生态兜底——第 5 章。