4.1 自由空间传播与菲涅尔区

4.1 自由空间传播与菲涅尔区

上一章电波刚离开发车平台，本节先给它的旷野之旅立一根基准标尺：如果什么都没有——没有地面、没有大气、没有任何障碍——信号会衰减多少。这笔"自由空间账"是所有传播问题的零点：真实航线的每一条修正，都要以它为底数。随后引入菲涅尔区概念，它揭示一个反直觉的工程事实：视距可见不等于传播无碍，电波占据的是一条椭圆截面的"走廊"，走廊被侵入，链路照样摔跟头。学完本节，你将能独立完成一条微波链路从频率选择到铁塔高度的基础核算。下一节开始给基准账添上地表与大气的修正项。

一、平方反比：能量扩散的几何税

点源辐射的功率均匀铺在以源为心的球面上，球面积按半径平方增长，单位面积功率便按平方反比稀释——这不是介质的错，纯粹是几何记账。配上收发天线的增益，接收功率由弗里斯公式给出：

Pr = Pt·Gt·Gr·(λ/4πd)²

工程上更爱用分贝制的自由空间路径损耗：Lfs(dB) = 32.45 + 20lg f(MHz) + 20lg d(km)。两个 20lg 直白地告诉我们：频率翻倍损耗加 6 dB，距离翻倍损耗同样加 6 dB。频率项揭示了毫米波通信的先天逆风：同样的距离，30 GHz 比 3 GHz 多付 20 dB——这不是毫米波"衰减快"于物理规律，而是同样口径的天线在毫米波段有效口径更小；口径恒定时两种频率的几何损耗本来一模一样。这笔账在 3G 与毫米波之争里被讲糊涂过太多次，值得在本节一次性澄清。

# 自由空间链路预算：路径损耗与接收电平
import numpy as np

def fspl_db(f_mhz, d_km):
    return 32.45 + 20*np.log10(f_mhz) + 20*np.log10(d_km)

f_mhz, d_km = 5800, 5.0            # 5.8 GHz 微波链路 五公里
Pt_dbm, Gt, Gr = 23.0, 30.0, 30.0  # 发射功率与两天线增益
Rx = Pt_dbm - fspl_db(f_mhz, d_km) + Gt + Gr
print(f"路径损耗 {fspl_db(f_mhz, d_km):.1f} dB")
print(f"接收电平 {Rx:.1f} dBm，对 20 dB 衰落余量的余裕 {Rx-(-70):.1f} dB")

# 对比：频率与距离各翻倍的代价
for fm, dk in [(5800, 5), (11600, 5), (5800, 10)]:
    print(f"{fm/1000:5.1f} GHz  {dk:2d} km  损耗 {fspl_db(fm, dk):6.1f} dB")
​

接收电平减去接收灵敏度的差是衰落余量——链路设计的第一道安全带。预算的纪律是"每一分贝都有科目"：发射功率、双端增益、自由空间损耗、后面各节将陆续登场的大气吸收、雨衰、绕射与多径，全部列进同一张表。

二、菲涅尔区：电波不是走钢丝而是走走廊

几何光学说波沿直线走，波动光学补充实情：接收点的场是路径附近整个空间里惠更斯次波的相干叠加。把发射到接收的连线上的各点当作次波源，到接收点路程比直线路径长半个波长的点的轨迹，绕连一周构成一个椭球——这就是第一菲涅尔区。它就是电波实际"占用"的走廊：走廊内畅通，接收场近似自由空间值；走廊被障碍侵入，场强起伏下跌。

第一菲涅尔区半径在路径中点最大：

r1 = √(λ·d1·d2/(d1+d2))，d1、d2 为该点到两端的距离

工程判据：中点净空至少 0.6 倍 r1，链路损耗才接近自由空间值。这条判据把"天线要架多高"从拍脑袋变成了计算题。

菲涅尔走廊与净空判据

三、完整算例：一条湖对湖链路的高度核算

把本节工具串起来做一次完整出勤核算。设 5.8 GHz、路径 12 km，两端湖面高度为零，需验证天线最低挂高。中点第一菲涅尔半径：λ ≈ 0.052 m，r1 = √(0.052×6000/2) ≈ 12.5 m；要求净空 0.6r1 ≈ 7.5 m，再叠加地球凸起修正（第4.2节的等效地球半径会正式处理，平地球近似下先忽略），两端天线至少各架 8 米，工程上取 12 米留植被生长余量。然后回到链路预算：路径损耗约 129.4 dB，加上 20 dB 大气与雨衰余量、2 dB 馈线损耗，23 dBm 发射配双 30 dBi 天线，接收电平约 −68 dBm，对 −74 dBm 灵敏度仍有 6 dB 富余——不高，但预算诚实。升级手段按性价比排序：先加天线口径（每翻倍口径赚 6 dB），再提发射功率（有 EIRP 法规上限），最后才是中继。

# 菲涅尔半径与挂高核算
import numpy as np

f_hz, d_total = 5.8e9, 12000.0
lam = 3e8/f_hz
d1 = d2 = d_total/2
r1 = np.sqrt(lam*d1*d2/(d1+d2))
print(f"中点第1菲涅尔半径 {r1:.1f} m，净空需求 {0.6*r1:.1f} m")
for frac in [0.3, 0.6, 1.0]:
    print(f"净空 {frac:.1f} r1 时的附加损耗经验值约 {round(6*(1-frac)*10)/10:.0f} dB 量级")
​

菲涅尔区的思想在雷达与遥感里同样活着：合成孔径雷达的方位分辨率本质上由多普勒带宽决定，而多普勒历史的"有效采样区"正是目标周围的菲涅尔带——第5、8章会两次回收这个概念。

四、高频问答

地球曲率到底什么时候必须进账本

看距离平方。中点地球凸起量约为 d1·d2/(2R)，十二公里链路只有两米八，挂高核算里常被余量吸收；四十公里链路就是三十一米——不修正等于白算。工程上再乘个 k 因子（标准折射取 4/3）把大气弯曲算进来，凸起降到二十三米量级，依然能把没防备的链路拦腰截断。口诀：链路超过二十公里，曲率必算；滨海湿热地区 k 还会漂移，余量要再加码。

衰落余量留多少才不算拍脑袋

按失效概率倒推。视距固定链路的多径衰落服从统计分布，要求可用性百分之九十九点九与百分之九十九点九九，余量能差出十分贝上下；再叠加雨衰科目（频率越高罚得越重，第4.2节展开）。城市移动链路更狠：瑞利环境下深度衰落没有上限，只能靠分集与重传来兜底，余量的角色被架构接替。一句话：余量不是勇气值，是可用性目标换算出来的价格。

惠更斯次波既然处处叠加，遮挡了再"补一条路"行不行

行，但代价按菲涅尔区阶梯计价：障碍侵入净空到零点几倍 r1，附加损耗按分贝起步价往上翻，刀刃遮挡时有著名的绕射公式可精确计算（5.2 节的正主顾）。工程上"补一条路"通常指加中继或反射板，本质是重开一段走廊——比硬扛绕射损耗便宜，前提是预算算得早。

本节要点回顾

• 几何税：平方反比扩散是几何账不是介质账，分贝制损耗公式两个 20lg 分别管频率与距离。
• 频率与口径：同口径天线频率越高有效口径越小，毫米波的"高损耗"一半要记在天线口径的账上。
• 菲涅尔走廊：电波占用椭球走廊而非直线，中点半径 r1 = √(λd1d2/D)，净空 0.6r1 是工程铁线。
• 预算纪律：路径损耗、余量、馈损逐项列科目，衰落余量是链路活着到明天的保险费。
• 挂高核算：频率、距离、净空判据三件套联立，把"天线架多高"变成一道计算题。

下一节走贴地航线：地面波怎么贴着地球绕行、大气折射怎么让地球"变平"、大气波导又怎么把信号送到地平线之外。