3.3 非线性本构：微分型与积分型

3.3 非线性本构：微分型与积分型

本节摘要：非线性本构模型分微分型与积分型两条路线：前者用带示构导数的演化方程局部追踪应力，后者用卷积积分让整段变形历史作证。Oldroyd-B、Giesekus、PTT 与 BKZ 类模型是代表，客观性原理则保证换坐标系时证词不变。

学习目标

阅读完本节，你应当能够：

1. 解释为什么非线性本构必须用示构导数而不是普通时间导数；
2. 说出 Oldroyd-B 能预测什么、不能预测什么，Giesekus 补上了哪块；
3. 说明积分型模型如何处理"记忆"，以及它与微分型的根本差异；
4. 对比两条路线在数值上的取舍，理解高维森伯格数问题的由来。

为什么普通时间导数不够

线性模型有个潜台词：它只在变形足够小、坐标系几乎不动时成立。一旦进入大变形，材料微元旋转、拉伸、翻滚，坐标系本身在动——这时若还用普通时间导数写方程，等于让证词依赖观察者的姿势：换个旋转参考系，同一个物理过程会被记成不同的应力演化。这显然不可接受。

解法是给时间导数动手术，造出示构导数。它把材料微元的"整体旋转"从"真实变形"里剔除，只对后者敏感。常见版本有上随体、共旋等，差别在于用哪种方式跟着材料转。规则只有一条：任何候选的非线性模型，若它的导数不满足这个"客观性"，直接出局——因为它的预测会随参考系的选择而改变，物理上站不住。

微分型三兄弟

微分型路线的思路是：用一组演化方程，在材料内部状态上"记账"，当前应力由当前状态决定。三兄弟是最常用的三档：

Oldroyd-B 是地基，但它有个著名缺陷：预测的剪切黏度是常数，复现不了剪切变稀——因为它的松弛时间恒定。Giesekus 只加了一个二次项，就让黏度随剪切速率下降，同时还把第一、第二法向应力差的比例调得更接近实验。这提醒我们一个读模型的习惯：先问"方程里哪一项负责哪种曲线特征"，比死记模型名字有用得多。

积分型：让整段历史作证

微分型记账，积分型则把全部过往搬上法庭。它的基本盘是玻尔兹曼叠加的推广：当前应力等于过去每个时刻的变形贡献乘上各自的"记忆权重"再求和。线性版的卷积式前面见过，非线性版的关键升级是给权重函数加进应变依赖——变形越大，记忆衰减得越快，这就是 Wagner 类模型的思路：

其中 m 是记忆函数，h 是应变软化因子，B 是描述当前构型变形的张量。更深的物理路线是 Doi-Edwards 管模型——它从"分子链在管道里蛇行"的微观图像出发推导宏观应力，属于从机理反推方程的典范。积分型的长处是物理图像直白：记忆就是积分的权重，时间差越大权重越小；短处是得背着整个变形历史，数值代价高。

两条路线的取舍

选微分还是积分，先看应用场景：

我的倾向很明确：常规工艺模拟先用微分型，参数标定方便、求解器支持好；涉及强拉伸、需要物理深度时再考虑积分型。两者不是敌人，很多工程干脆微分积分混用。

数值上的硬骨头

非线性本构装上求解器，最著名的拦路虎是"高维森伯格数问题"。维森伯格数定义为松弛时间乘剪切速率，衡量弹性相对粘性的强弱。数值大时，应力随流动指数级增长，传统算法应力震荡、直接发散。业界给出的解法里，log-conformation 方法最有名——把构象张量取对数再传输，把指数级演化压回有界变量，让计算在强弹性下也能站稳。除此之外，还有应力分裂、流线上风等稳定化招数配合使用。

参数标定方面，微分型的松弛时间、零切黏度、非线性系数都能用第 2 章的实验喂出来；积分型的记忆核则需要更宽的频域数据反演。无论走哪条路，都要守住第 1 章的红线——模型预测不得违反耗散不等式，否则数据拟合得再漂亮也是违法证据。

要点小结

• 客观性：非线性模型的导数必须是示构导数，换参考系证词不变。
• 三兄弟分工：Oldroyd-B 打地基，Giesekus 补变稀，PTT 管有限延伸。
• 积分即记忆：当前应力是全部历史的加权和，应变越大记忆衰减越快。
• 按场景选型：常规模拟微分型，强拉伸与机理研究上积分型。
• 数值硬骨头：高维森伯格数问题靠 log 构象等方法破解。

模型立好了，参数从哪来？必须回审讯室校准。第 4 章讲取证科学——仪器、夹具与伪影。