2.1 电荷、库仑定律与电场强度

2.1 电荷、库仑定律与电场强度

漫游的第一站回到 1785 年的库仑扭秤旁：两条蚕丝悬着的轻杆，一端的小球带上电，静电力让杆转过可测的角度。从这个装置里读出的平方反比律，是电场线的"出生证明"。本节沿"电荷 → 定律 → 场"三步走，下一节的高斯定律将把本节的点电荷公式升级成对称问题的快刀。

电荷：场线的源头与汇点

电荷是电磁学的第一性对象，三条基本性质奠定全部结构：

量子化——电荷总以基本单元 e ≈ 1.602×10⁻¹⁹ C 的整数倍出现。宏观物体带电量巨大（一库仑约 6.24×10¹⁸ 个单元），所以连续分布近似在宏观层面几乎总是合法的。

守恒——孤立系统的总电荷不变。摩擦起电不是"制造"电荷，是把正负电荷分开；第 4 章的连续性方程 ∇·J + ∂ρ/∂t = 0 是这条守恒律的逐点版本，它将逼出位移电流这一关键角色。

两种荷、同性相斥异性相吸——场线从正荷出、入负荷，这条规则贯穿本册每一张图。

库仑定律：第一个定量的场律

真空中两个点电荷 q₁、q₂，相距 r，相互作用力

F = (1/4πε₀) · q₁q₂/r² · r̂

方向沿连线，ε₀ ≈ 8.854×10⁻¹² F/m 是真空介电常数。三条结构性特征比公式本身更重要：

平方反比。这不是随意设定：正是指数恰好为 2，才保证了高斯定律的简洁形式，也保证了第 3 章里安培环路定理的成立。若指数偏离 2 千分之一，中性物质都会出现净受力，化学键结构随之崩塌——平方反比是被宇宙精细守住的参数。

线性叠加。多个电荷对同一试探电荷的力是矢量和，互不干扰。这条"老实的"性质使电磁学成为线性理论，也让第 1 章的格林函数方法成立。注意它并非理所当然——强相互作用就不线性。

作用于连线。两体作用沿连线，保证了角动量守恒等结构性质。

从力到场：拆掉"超距作用"

库仑的公式里只有两个电荷和距离，仿佛彼此"隔空发力"。法拉第与麦克斯韦推翻了这个图像：电荷并不直接拉扯远处的电荷，而是在自己周围的空间里改变一种属性——电场；试探电荷只是到场子里"读出"当地的作用。定义：

E = F/q₀（q₀ 为足够小的试探电荷）

单位 N/C（即 V/m）。"足够小"的要求并非矫情：试探电荷太大会扰动源电荷的分布（尤其第 3 节遇到导体时），读出来的就不是原来的场了。

点电荷的场由此立得：E = q r̂/(4πε₀r²)。场线的画面第一次成形——正点电荷周围，场线像刺猬的刺般向四面八方均匀放射，越远越稀（场强按 1/r² 衰减，同一束场线摊在 4πr² 的球面上）。连续分布则切成体元积分：

E(r) = (1/4πε₀) ∫ ρ(r′)(r − r′)/|r − r′|³ d³r′

原则上，一切静电场都是这个积分。但直接算它往往积不动——这正是下一节高斯定律存在的理由。

案例：电偶极子的场线

等量异号电荷 +q 与 −q 相距 d，是最重要的复合源（分子极性、天线辐射的近区都以它为原型）。中垂面上的场强可以手算：两点荷贡献的垂直分量相加、水平分量抵消，得

E_中垂 = (1/4πε₀) · qd/(y² + d²/4)^(3/2)

定义电偶极矩 p = qd（从负指向正），远场处 E ∝ p/r³——比点电荷的 1/r² 衰减更快，因为正负两荷的场在远处大量抵消。总电荷为零的源，衰减至少快一档，这个"多极展开"的规律第 3 章讲磁多极矩时还会再现（磁偶极子是磁场唯一的主角，正因为磁单极不存在）。

用 Python 画一张偶极子场线图，眼见为实：

# 电偶极子场线图（matplotlib）
import numpy as np, matplotlib.pyplot as plt
q, d = 1.0, 1.0
x = np.linspace(-2, 2, 400); y = np.linspace(-2, 2, 400)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
def E(qi, pos):
    rx, ry = X - pos[0], Y - pos[1]
    r3 = (rx**2 + ry**2 + 1e-9)**1.5
    k = qi / (4 * np.pi * 8.854e-12) * 1e12  # 缩放常数，只为画图
    return k * rx / r3, k * ry / r3
Ex1, Ey1 = E(+q, (0, d/2)); Ex2, Ey2 = E(-q, (0, -d/2))
plt.streamplot(X, Y, Ex1+Ex2, Ey1+Ey2, density=1.6, color=np.hypot(Ex1+Ex2, Ey1+Ey2), cmap='viridis')
plt.plot(0, d/2, 'ro'); plt.plot(0, -d/2, 'bo')   # 红=正源 蓝=汇
plt.gca().set_aspect('equal'); plt.title('dipole field lines'); plt.show()
​

图中场线从红点出发，弯成对称的弧族，全部落入蓝点——"有源有汇、不闭合"，这是静电场线的签名，与第 3 章闭合的磁力线形成刻意对照。

场线密度与场强的定量关系

场线图不只是定性装饰。约定"每单位面积垂直穿过的场线条数等于场强大小"后，图就变成了可读的仪表盘：点电荷场里任一同心球面，同一批场线摊在越来越大的球面上，密度按 1/4πr² 下降，正好复现 1/r²。这个"通量"的视角——数穿过面的场线——就是下一节高斯定律的全部直觉：对称问题时，不用积分就能数出通量，场强唾手可得。

易错点

把 E = F/q 当成"场依赖试探电荷"：q₀ 只是探针，换一个更小的探针力变小、比值不变——场是源电荷的属性，与探针无关。

叠加时丢方向：电场叠加是矢量加法，两个等量异号电荷中垂面上场不为零（有 y 分量）；两个等量同号电荷中点处场恰为零（相互抵消）。先画场线再动手算，方向错误能少一半。

单位混乱：1 C 是极大的电量，日常静电多在纳库到微库级；ε₀ 出现在分母，数值题里漏一个 4π 是家常便饭，算完量纲自查一遍是最便宜的保险。

补充演练：三点电荷的场点分析

再补一个适合动手的复合案例：边长 a 的等边三角形顶点各放 +q，求第四个顶点（重心垂线上距平面 h 处）的场。三个源到场点距离相等（由对称性），水平分量两两抵消，只剩竖直叠加——对称性先把三维问题砍成一维，这是"先看对称再动笔"的示范。若把其中一个 +q 换成 −q，对称性降级，必须分两个对称组分别叠加再求和；若三个电荷电量各不相同，解析叠加仍然可行但已无捷径。这条"对称性递减、计算量递增"的谱系，正是下一节高斯定律适用性的预演：高斯定律能"秒杀"的只是谱系中对称性最高的那一端，其余仍要回到叠加积分与第 1 章的格林函数。顺带复习量纲自检：库仑力表达式中分母的 4πε₀ 出现在数值题里最易漏，算完用单位核对一遍永远不亏。