3.1 电流与洛伦兹力
3.1 电流与洛伦兹力
磁力线的源头是运动的电荷。本节先给电流立户口（电流密度与连续性方程），再请出本章的主角之力——洛伦兹力，看它"只拐弯、不做功"的古怪脾气如何造就从回旋加速器到霍尔传感器的整条应用链。下一节再反向提问：给定了电流，磁力线长什么样。
电流的场描述：J 与连续性方程
宏观电路里的 I（安培）只是总账，逐点的描述用电流密度矢量 J：方向为该点正电荷漂移方向，大小为单位垂直面积的电流。穿过任一曲面的总电流 I = ∫J·dS。良导体铜中 J 达 10⁶ A/m² 量级时，电子漂移速度却不到毫米每秒——传导靠的是"人浪"式的电场推动，不是电子的长途奔袭。
电荷守恒给出连续性方程：
∇·J + ∂ρ/∂t = 0
流出一点的电流等于该点电荷的减少率。恒定电流（本章）特例：∂ρ/∂t = 0，故 ∇·J = 0——电流线与磁力线一样闭合。这条方程请特别记牢：第 4 章安培定律与位移电流的整个争论，就是围绕它展开的。
洛伦兹力：一种不做功的力
电荷 q 以速度 v 在电磁场中受力：
F = q(E + v × B)
磁场项 qv×B 的三个性格决定了一大批器件的命运：
永远垂直于速度，故磁力对粒子不做功、不改变动能，只改变方向。粒子在匀强磁场中做圆周运动，qvB = mv²/r 给出回旋半径 r = mv/(qB)——动量越大圈越大、磁场越强圈越小。回旋加速器用高频电场在缝隙处加速（做功的是电场），磁场只负责把粒子按在轨道上拐弯；回旋频率 f = qB/(2πm) 与速度无关这一"巧合"让加速节拍恒定，是劳伦斯 1930 年设计的灵魂。
叉乘方向服从右手定则。正电荷东行、磁场向北，v×B 向上——粒子向上偏。电荷符号翻转则偏转反向，这是判断运动电荷正负的标准手段。
对导线表现为安培力。载流导线里大量定向漂移的电荷各自受磁力，宏观求和得 dF = I dl × B。两根平行载流导线同向相吸、异向相斥，安培当年的这个实验是"电流产生磁"的第一个定量证据，SI 单位制里安培的定义（现由基本电荷 e 重新定义）正源于此。
案例：霍尔效应——把磁场变成电压
一块宽 w、厚 t 的导体板，电流 I 沿 x 流过，加 z 向磁场 B。载流子受安培力向一侧偏移，在侧面堆积，直到堆积电荷的横向电场恰好抵消磁力：
qE_H = qv_d B → U_H = v_d B w = IB/(nqt)
其中 n 为载流子浓度。三个直接应用：
- 磁场测量：已知电流与材料参数，测霍尔电压即测 B——霍尔探头是磁场测绘的标准工具，第 8 章实验与第 9 章排障都靠它；
- 判别载流子符号：霍尔电压的极性区分正电荷载流（空穴）与电子导电——历史上正是它厘清了半导体两种导电机制；
- 电流传感：把导线穿过霍尔磁环，磁场所映电流，实现电气隔离的电流测量，变频器与电池管理系统的标配。
一个现代变奏：量子霍尔效应（低温强场下霍尔电阻出现平台 R_H = h/(ie²)，i 为整数）把电阻单位欧姆锚定在基本常数上。经典霍尔效应是洛伦兹力的直接作品，量子版本则已是第 10 章拓扑物理论域的门票。
用代码算电子轨迹
磁力"只拐弯"的性质，用数值积分看得最清楚。下面对质子在匀强磁场中的运动做"半隐式欧拉"积分（对旋转运动稳定）：
# 匀强磁场中的带电粒子回旋运动 import numpy as np q, m, B = 1.0, 1.0, 1.0 # 归一化单位 dt, steps = 0.01, 3000 r = np.array([1.0, 0.0]) v = np.array([0.0, 1.0]) # 初速沿 y Bz = B # 磁场沿 z trajectory = [] for _ in range(steps): # 磁力 F = q v x B，二维下 (vy*B, -vx*B) F = np.array([ q*v[1]*Bz, -q*v[0]*Bz ]) v = v + F/m*dt # 先更新速度 r = r + v*dt # 再更新位置（半隐式） trajectory.append(r.copy()) traj = np.array(trajectory) print("回旋半径数值:", np.hypot(*(traj - traj.mean(0)).T).max() / 2) print("理论值 mv/qB:", m*np.hypot(*v)/q/B) KE = [np.hypot(*vv) for vv in [v]] print("末速率（应等于初速率，磁力不做功）:", np.hypot(*v))
运行后两条半径基本吻合，末速率严格等于初速率——动能不变是"磁力不做功"的数值证词。把 Bz 改成随位置变化的 0.5 + 0.1*r[0]，你会看到轨迹变成渐变的螺旋，这正是磁约束（托卡马克中带电粒子被磁场"兜住"）的雏形。
磁场中的"指南针"：电流与磁的同一性
奥斯特 1820 年发现电流使磁针偏转，紧接着安培提出"磁性源于分子环流"的大胆假说——磁铁内部无数微小电流环整齐排列，宏观表现为磁化。这个假说在电子发现后被完全证实：原子中电子的轨道运动与自旋就是那些"分子电流"。世上没有磁荷，只有运动的电荷——磁力线闭合的深层原因在此：它们其实是电流线的"影子"，电流线闭合（∇·J = 0），磁力线随之闭合（∇·B = 0）。
易错点
给磁力算功：v×B 永远垂直 v，功率 F·v = 0。电动机做功的是驱动电流的电源（电场），磁场只是"传动机构"——这个辨析在电磁感应（第 4 章）里还会以"动生电动势的能源是谁"的形式再考一次。
混淆 B 与 H：本节全程用 B（磁感应强度，决定洛伦兹力）。H 是第 3 节处理磁化物质时引入的辅助量，两者关系与第 2 章 E/D 的对偶完全平行。
右手定则用错手：v×B 用右手（叉乘通则），判断载流直导线磁场绕向也用右手（拇指指电流、四指绕向即磁场方向）。两套"右手"混着背容易在考场上翻车，建议都归一到叉乘一个来源。
补充辨析：霍尔电压与"载流子符号"的判定细节
霍尔效应的极性判断值得再演练一遍细节，因为它是"叉乘方向 + 电荷符号"双重逻辑的试金石：设电流沿 +x、磁场沿 +z。若载流子为正电荷，漂移速度沿 +x，受力 qv×B 沿 −y，正电荷在 −y 侧堆积，该侧电位高；若载流子是电子（漂移速度沿 −x），受力方向两次取反后仍指向 −y——电子也在 −y 侧堆积，但电子带负电，−y 侧电位反而低。两种情形的霍尔电压极性相反，测量极性即可判定载流子类型：铜与铝是电子导电，p 型半导体是空穴导电（历史上一度引发争论，正是霍尔测量一锤定音）。把这段推理亲手画图走一遍，右手定则与符号逻辑的配合就再不会错。顺带记住数量级：常规导体 n ≈ 10²⁸–10²⁹ m⁻³，1 T 磁场、1 mm 厚样品的霍尔电压仅微伏量级，故霍尔元件用半导体（n 小五个数量级，电压大五个数量级）——材料选择由公式直接给出，这是"公式指导选材"的又一例。