5.3 反射、折射与布儒斯特角

5.3 反射、折射与布儒斯特角

波撞上界面怎么办？第 4 章的四条边界条件（法向 D、B 连续，切向 E、H 连续）就是交通规则。本节从规则推出斯涅尔定律与菲涅耳公式，再看两个著名特例——全反射（光纤工业的全部基础）与布儒斯特角（偏振光学的门把手）。这是第 5 章的收口，也是第 6 章（波导里的多次反射）与第 10 章（超表面任意改写反射）的接口。

推导的骨架：边界条件 + 相位匹配

一列平面波斜入射两介质（1 → 2）的界面。设入射、反射、透射三列波并存，把边界条件"对任意时刻、界面上任意点成立"翻译成数学，立刻得到两条：

相位匹配：三列波沿界面的相速度必须一致，否则某点某刻的连续性在另点另刻就被破坏。由此 ① 反射角等于入射角；② 斯涅尔定律 n₁sinθ_i = n₂sinθ_t。注意这两条不是独立假设而是边界条件的必然推论。

振幅配平：把三列波的振幅代入四条连续性条件（分 s 偏振——E 垂直入射面、p 偏振——E 平行入射面两种情形），解出菲涅耳公式（此处给垂直入射与文字描述的斜入射结论）：

垂直入射（任意偏振）：反射系数 Γ = (η₂ − η₁)/(η₂ + η₁)，透射系数 τ = 2η₂/(η₂ + η₁)。η 为波阻抗（介质中 √(μ/ε)）。功率反射率 R = |Γ|²——空气到玻璃（n=1.5）R ≈ 4%，普通玻璃两个面共约 8% 的"白送"反射损失；照相机镜头镀膜（1/4 波长厚、折射率居中的介质膜）让两束反射光相消，把每面反射压到 1% 以下——第 6 章四分之一波长阻抗变换器是同一招的导波版。

斜入射的两个走向：从光疏到光密（n₁ < n₂），反射率随入射角缓升；从光密到光疏（n₁ > n₂），某个角度起反射率跳变到 1。

全反射：光被界面"完全弹回"

n₁ > n₂ 时，斯涅尔定律 sinθ_t = (n₁/n₂)sinθ_i，当 θ_i 超过临界角

θ_c = arcsin(n₂/n₁)

时 sinθ_t > 1，"透射角"失去实数意义——没有折射波进入介质 2，能量全反射（R = 1）。玻璃-空气界面 θ_c ≈ 41.8°，水-空气约 48.6°。

但故事有个精妙的尾巴：介质 2 里并非什么都没有。边界条件仍要求切向场连续，于是存在一个倏逝场——振幅沿法向指数衰减 e^(−z/δ、δ = λ/2π√(sin²θ_i − (n₂/n₁)²)、沿界面仍有相移的"鬼波"。它不运输能量（平均坡印廷法向分量为零），却能被极近的第二个界面"捞出来"（受抑全内反射——近场显微镜、指纹传感器的原理；两块棱镜间的空气隙调节耦合量的可调分束器）。

全反射的工业化身是光纤：纤芯折射率略高于包层，光以大于 θ_c 的角度进入后在芯-包界面反复全反射，被"关"在纤芯里跑几十公里（第 6 章从导波视角再讲一次，还要面对色散对带宽的限制）。每次全反射伴随一个 Goos-Hänchen 相移，它是光程计算里常被忽略的小账。

布儒斯特角：一种偏振的"免死金牌"

p 偏振（E 在入射面内）的反射率在某个角度降为零：

θ_B = arctan(n₂/n₁)

玻璃-空气界面 θ_B ≈ 56.3°。物理图像优雅至极：透射光与反射光成 90° 时，透射光里的电偶极振动方向恰与反射光方向平行——而偶极辐射沿自身振动轴方向为零（第 7 章天线方向图的"盲区"），反射方向收不到 p 分量的再辐射，p 偏振全部透射。s 偏振则照常反射。

于是自然光（两种偏振等量）以 θ_B 打在玻璃上，反射光变成纯 s 偏振（偏振太阳镜挡水面 glare 的原理），透射光部分偏振。激光器的布儒斯特窗以 θ_B 安装，让 p 偏振零损耗往返、s 偏振被衰减，从而"选举"出线偏振输出——一块斜放的玻璃片同时做成了偏振器与增益选择器。

案例演算：垂直入射与布儒斯特角、全反射三个典型数字用 Python 一并算出：

# 空气-玻璃界面的反射率速查
import math
n1, n2 = 1.0, 1.5
# 垂直入射（用折射率形式：Γ=(n1-n2)/(n1+n2)）
G0 = (n1 - n2)/(n1 + n2)
print("垂直入射功率反射率 R =", round(G0**2, 4))          # ≈ 0.04
print("布儒斯特角 =", round(math.degrees(math.atan(n2/n1)), 1), "度")  # 56.3
# 玻璃→空气的临界角
print("临界角 =", round(math.degrees(math.asin(1/1.5)), 1), "度")      # 41.8
​

分层介质的视角：把界面叠起来

单界面是乐高积木，多层膜是成品。1/4 波长堆叠（高低折射率交替、每层 λ/4 厚）让各界面反射同相叠加——几十层做到 R > 99.99%（激光高反镜、DWDM 滤光片）；渐变折射率层（"鸟飞到树顶要一段楼梯"式的缓变）让反射无从干涉加强——隐形机制之一（第 10 章隐身衣的"光学变换"正是它的推广）。每一个多层膜设计，本质上都是在解同一道边值问题——与第 2 章唯一性定理、第 8 章数值方法的血脉从未断过。

易错点

混淆波阻抗匹配与折射率匹配：无磁介质（μ_r = 1）里两者等价（η ∝ 1/n），但磁性材料或等离子体里两者可以分道，出现"n < 1 但阻抗失配"等反直觉组合。

全反射以为介质 2 里绝对无场：倏逝场是真实的场（近场光学就靠它工作），"全反射"指的是时间平均能量流为零，不是场为零。

布儒斯特角只在 p 偏振"免死"：自然光以 θ_B 入射反射率约 7–8%（只剩 s 分量），不是零——"零反射"只对纯 p 偏振成立。

补充演练：垂直入射的场与能流配平

把垂直入射的菲涅耳系数完整核对一遍，作为斜入射公式的基准：空气到玻璃（n₁=1，n₂=1.5），Γ = (1−1.5)/(1+1.5) = −0.2（负号表示反射 E 反相），τ = 2·1.5/(1+1.5) = 1.2。初学者常惊讶 τ 大于 1——透射场比入射场还强？能量并未违反守恒：透射能流还依赖介质波阻抗（能流 ∝ n·E²），配平后功率反射率 R = 0.04、透射率 0.96，账目分毫不少。这个"场强系数可以超 1、功率仍然守恒"的辨析，是理解多层膜设计与第 6 章阻抗变换器的心理关口。再补一个激光常识的物理出处：谐振腔的增益介质若不饱和，布儒斯特窗的低损特性让 p 偏振在数百次往返中累计损耗远小于 s 偏振，输出自然线偏振——一台 He-Ne 激光器的偏振输出，就是本节一条公式的工业化表演。最后留一个自测：光从玻璃射向空气，入射角等于玻璃内计算的布儒斯特角时，反射光是 s 还是 p 偏振？（仍为 s——偏振选择性不随传播方向改变。）