7.1 辐射基础

7.1 辐射基础

为什么天线会辐射？本节从第 4 章的推迟势出发回答这个问题，得到电磁学里最迷人的分化：同一个源产生的场，在近处是"依附"于源的感场，在远处是"离家出走"的辐射场。近场/远场的分界线、1/r 场的登场、以及"加速电荷才辐射"的判据，构成本节三幕。第 2 节的天线参数工具箱与第 3 节的阵列，都以本节的物理为地基。

三幕剧：从推迟势到 1/r 场

第 4 章的推迟势 A(r,t) = (μ₀/4π)∫J(r′, t − R/c)/R d³r′ 对一个交变电流元（长度 l ≪ λ、电流 I₀cos ωt）积分，展开后取旋度求场，结果按距离分为三段：

近场（r ≪ λ/2π）：场的主体随 1/r²、1/r³ 衰减，结构酷似第 2、3 章的静电偶极场与静磁场——每瞬间看，它就是"当时的库仑场+毕奥-萨伐尔场"。能量在场与源之间来回吞吐（坡印廷矢量在半个周期内反向），像弹簧上振子的动能势能交换。近场不"出走"，但它不是废物：无线充电、RFID、近场通信（NFC）全在近场区工作——故意把能量锁在身边，免得向四面八方撒漏。

远场（r ≫ λ/2π）：展开式里 1/r 的项胜出——它的坡印廷矢量恒向外，能量单向离家，源再也收不回来。这就是辐射场：E_θ = jηkI₀l·sinθ·e^(−jkr)/(4πr)，方向图因子 sinθ（沿振子轴为零、垂直方向最大）从此登场。1/r 的衰减不是损耗而是几何摊薄：同一份功率摊在 4πr² 的球面上，能流密度必然按 1/r² 降，而场强按 1/r 降。

过渡带：两项相当时场型复杂（电抗性近场与辐射近场的细分是天线测量场地设计的考量）。工程口径的远场条件 r > 2D²/λ（D 为天线最大尺寸）保证相位与幅度都"平面波化"到可接受误差——手机天线在暗室测量时，暗室距离正是按这条算的；一个 30 cm 抛物面在 30 GHz 测量需要约 1.8 m 的远场距离，毫米波暗室造价随此式攀升。

场线末端的故事：直观图像

低频电路教条"电流沿闭合回路流动"在高频开路端失效：导线末端电流为零、电荷堆积又释放，场线末端在开路端附近被"甩断"——断掉的场线自我闭合，闭合的 E 场线由变化的 B 撑着、变化的 B 又由涡旋 E 撑着，互相锁定着一同以光速撤离。这就是辐射的"场线级"直观图像：导行波的场线在结构末端"起飞"。天线的艺术（尺寸、形状、地面）本质是控制"起飞"的方向与效率。

由此也看清"加速才辐射"：恒定电流（匀速运动的电荷整体）只有感场；电荷分布的二阶时间导数（等效于电流变化率）驱动 1/r 项——辐射场 ∝ ω²，频率翻倍辐射功率增 16 倍（这也是为什么早期无线电苦苦挣扎在长波：频率低、辐射弱、天线就得大到夸张；而 5G 毫米波用指甲盖大小的阵列就能高效辐射，同一枚硬币的两面）。

辐射电阻：给辐射"记账"的假电阻

把辐射功率写成 P_rad = (1/2)I₀²·R_rad 的形式，R_rad 叫辐射电阻——不是真实的电阻（不发热），而是"看进天线端口，功率从这里上天了"的账面电阻。赫兹偶极子：

R_rad = 80π²(l/λ)²（Ω）

短振子（l = 0.01λ）R_rad 仅 0.08 Ω——馈电点的欧姆电阻轻松超过它，效率惨淡。把天线做到接近半波长，正是为了让 R_rad 升到与电路同量级（半波振子约 73 Ω，下节详述）。这一步"尺寸与波长相当"的要求，解释了天线世界的全部尺寸规律：HF 频段的天线是塔，5G 毫米波的天线是贴片阵列。

演练：数值画偶极子方向图并核对辐射功率

# 赫兹偶极子与半波振子的辐射方向图（极坐标）
import numpy as np, math
import matplotlib.pyplot as plt
theta = np.linspace(0.001, np.pi - 0.001, 400)
U_dip = np.sin(theta)**2                        # 偶极子功率方向图 |sinθ|²
U_half = (np.cos(np.pi/2*np.cos(theta))/np.sin(theta))**2  # 半波振子
D_dip = 2*U_dip.max()/np.trapz(U_dip, theta)    # 数值方向性
print(f"偶极子方向性 D ≈ {D_dip:.2f}（理论 1.64）")
l_over_lambda = 0.05                            # 电小天线 5%
print(f"R_rad ≈ {80*math.pi**2*l_over_lambda**2:.2f} Ω")
fig, ax = plt.subplots(1, 2, subplot_kw=dict(projection='polar'))
ax[0].plot(theta, U_dip); ax[0].set_title('Hertz dipole')
ax[1].plot(theta, U_half); ax[1].set_title('Half-wave')
plt.show()
​

数值方向性与理论值 1.64 吻合到两位小数；方向图都是"甜甜圈"（无 φ 依赖、沿轴零陷），但半波振子的波瓣略瘦——长天线把能量更集中于水平面。把长度改到 1.5λ 将出现旁瓣——天线越长方向图越复杂，阵列设计（第 3 节）正是驾驭这种复杂性的数学。

辐射的动量账：光压与"反冲"

第 4 章的场动量在此兑现：天线向外辐射功率 P，携带的动量流带来辐射压 p = S/c——太阳光对卫星帆面的压强（约 9 μPa，太阳帆航行的动力）、激光对微粒的光镊夹持力，都来自坡印廷矢量除以 c。定向发射的天线也受微小"反冲"（辐射阻力的一部分），量级虽小，却是"场携带动量"最直接的力学证据；激光干涉仪（引力波探测）里光压对镜面的作用甚至要专门做稳定性设计——辐射的动量在精密工程里是"入账科目"而非"可忽略项"。

易错点

近场当"无用区"：近场通信、无线充电、近场探头（EMC 排障用它的漏场定位噪声源，第 9 章）都住在这里；把远场公式套到近场测量会得到离谱的"增益"。

l ≪ λ 近似乱延展：偶极子公式只在电小天线成立；l 达到半波长时电流分布已改（正弦驻波），必须用半波振子公式。近似式的适用边界与公式本身同等重要。

把 R_rad 与损耗电阻混为一谈：天线效率 η = R_rad/(R_rad + R_loss)；手持设备的电小天线效率跌到 20–50% 是常事——"方向性高"不等于"辐射出去的多"，净增益要看效率折扣，这也是整机 OTA 测试与暗室测试差异的来源之一。