8.1 有限差分时域法（FDTD）

8.1 有限差分时域法（FDTD）

Kane Yee 在 1966 年提出的方法如今是 CEM 的"大众情人"：一行时间步进就能看到波在结构里传播、反射、谐振的全过程。本节讲清它的三件核心：Yee 网格的空间交错、时间上的蛙跳推进、以及稳定性与数值色散这两道"保修条款"。

Yee 网格：把旋度方程请进格子

FDTD 直接离散麦克斯韦两条旋度方程（法拉第+安培-麦克斯韦）。Yee 的巧思在空间交错：每个网格单元里，E 的三个分量放在棱边中点、H 的三个分量放在面心——恰使每个 E 分量被四个环绕的 H 分量"包围"，法拉第定律的环路积分离散成一圈差分，正是第 3 章"磁力线绕电流打转"的数字化版本。

时间上蛙跳推进：n 时刻的 E 推进出 n+1/2 时刻的 H，H 又推进出 n+1 时刻的 E——E 与 H 永远错开半步，中央差分的精度免费拿满，且两方程的"互相生成"结构原样保留（这正是第 4 章"负号配对"的时域电影）。

一维情形把机制看透（E_x、H_y 沿 z 传播）：

H_y^(n+1/2)(k+1/2) = H_y^(n−1/2)(k+1/2) + (Δt/μΔz)·[E_x^n(k+1) − E_x^n(k)]
E_x^(n+1)(k) = E_x^n(k) + (Δt/εΔz)·[H_y^(n+1/2)(k+1/2) − H_y^(n+1/2)(k−1/2)]

每格的更新只依赖左右邻居——不需要解方程组，一个 for 循环扫过全场，这是 FDTD"简单粗暴"的全部含义。

两道保修条款

CFL 稳定性条件：时间步必须满足 c·Δt ≤ 1/√(1/Δx² + 1/Δy² + 1/Δz²)（三维），即一个时间步内信息不能跑过一格。违反它，误差像滚雪球一样指数爆炸，几百步内 NaN 淹没一切。物理上这是"因果律的离散化"：差分格式的"声速"不得低于真实光速的传播速度，否则数值超光速摧毁稳定性。

数值色散：即使稳定，离散网格上相速也依赖频率与传播方向（连续方程本无此性）——一个脉冲走得越远，被网格色散抹得越宽。对策是网格加密（经验：每最短波长 ≥ 10–20 格）与非均匀网格（场变剧烈处加密、空旷区放粗）。第 7 章阵列对幅相误差敏感，长距离传播的 FDTD 仿真必须报告网格密度，否则结果的旁瓣不可信。

边界处理：FDTD 的网格有限而波要"感觉"到无穷远。吸收边界（Mur 一阶、以及事实标准 PML 完美匹配层——在边界区给介质赋上精心设计的复各向异性参数，让波"无反射地消失"）把开放问题关进有限网格。PML 的设计本身就是第 5 章"阻抗匹配"思想的一次华丽变奏。

演练：30 行 FDTD 看反射与驻波

# 一维 FDTD：高斯脉冲打到金属面，观察反射与驻波
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
N, T = 200, 700
ez = np.zeros(N); hy = np.zeros(N)         # E_x, H_y
imp0 = 377.0
for t in range(T):
    # 磁场更新（除最后一格，右端吸收简化）
    hy[:-1] += (ez[1:] - ez[:-1]) / imp0
    # 电场更新（第0格注入高斯脉冲的软源）
    ez[1:] += (hy[1:] - hy[:-1]) * imp0 / 1.0 * (1/1)  # εr=μr=1
    ez[0] = np.exp(-((t-30)/12)**2)
    ez[-1] = 0.0                            # 右端 PEC：E 切向为零
plt.plot(ez); plt.title(f't={T}'); plt.show()
# 现象：脉冲右行→PEC 全反射反相→与后续入射叠加出驻波纹
​

运行后你会看到高斯脉冲右行、撞到右端（切向 E 为零的完美导体）被反相反射——这正是第 6 章 Γ = −1 的时域电影；反射波与后续波形叠加出驻波包络。改动两行就能做两个实验：把 ez[-1]=0 改为吸收条件（如 ez[-1]=ez[-2]），反射消失（粗配吸收边界）；在中间插入一段 εr=4 的区域（更新公式乘 1/εr），看到脉冲在介电界面部分反射、透射变慢变密——第 5 章斯涅尔定律的一维现场版。

FDTD 的性格与适用面

优点：一次仿真覆盖超宽带（脉冲含全谱，傅里叶变换后每个频点都有答案）；算法天然并行（每格独立更新，GPU 加速几乎线性）；对色散/非线性材料的时间局部性算法友好。

代价：全场离散——计算量随体积增长，电大尺寸问题（目标尺寸数百波长）内存爆炸；几何拟合受矩形网格限制（阶梯近似曲面，除非用共形技术补救）。典型主场：超宽带天线、电磁兼容（第 9 章的机箱屏蔽、PCB 辐射）、生物电磁剂量（SAR 计算）、光子器件。

易错点

时间步"差不多就行"：CFL 是硬红线，差 1% 的越界也会在几千步后爆炸；改网格尺寸后必须重算 Δt 上限。

脉冲频谱与网格分辨率脱节：高斯脉冲太窄（高频丰富）而网格按低频设计，高频段被数值色散污染——注入脉冲的带宽必须与"每最短波长 10 格以上"的网格联合设计。

把 PML 当完美的：PML 吸收有限（典型 −60 至 −100 dB 反射），且对低掠射角、修逝波效果下降；谐振腔 Q 值仿真时 PML 残余反射可能是误差主源，需要收敛性研究。

补充辨析：三道是非题划清边界

第一道："FDTD 一次仿真得到全频段结果，所以永远优先选它"——不对：宽带优势只在激励频谱与网格分辨率匹配时成立；窄带高 Q 问题（腔体滤波器）用 FDTD 要等谐振建立，时域漫长，频域 FEM 反而快。第二道："网格加密总能让结果收敛到真解"——在模型正确的前提下是；但材料参数、边界条件、几何简化的误差不会随网格消失，收敛的只是"离散误差"这一项。第三道："CFL 条件只是数值技巧，物理上无意义"——它可解读为"数值信息速度不得低于物理信息速度"的因果要求，与狭义相对论的精神同源（第 10 章将看到光速作为因果上限的深意）；数值方法的稳定性条件背后常站着一条物理原理，这是 CEM 最耐人寻味的风景之一。最后建议动手把 8.1 的最小代码扩展成二维：加一排 y 方向 E 分量、放一个介质圆柱，高斯脉冲绕过圆柱的散射波形立刻可见——百行以内的"个人雷达实验室"，是理解第 9 章 EMC 仿真报告的最好预习。

数字感受：一个 10×10×10 波长的三维 FDTD 模型按每波长 15 格剖分即 150³ ≈ 340 万网格、内存数 GB、单频结果需数分钟到数小时——"电大尺寸"的内存墙由此可感。理解这个数量级，就理解了本章三种方法与高频近似为何必须分工存在：不是算法不够聪明，是问题规模在按立方暴涨。