5.2 变分算法 VQE 与 QAOA：NISQ 时代的游击战术

5.2 变分算法 VQE 与 QAOA：NISQ 时代的游击战术

本节摘要：变分算法把计算拆成两半——量子设备只负责"按参数准备态并采样"，经典优化器负责"改参数"，循环往复逼近目标。浅线路加经典闭环，恰好绕开噪声时代设备的两大短板（深度不够、不能纠错）。本节完整跑通一个可运行的变分循环，并如实呈现采样噪声带来的全部麻烦。

一个被催促的项目经理

把镜头对准某化工公司的量子项目例会。算法负责人汇报："我们的设备每秒能跑两千个线路，但每个线路深度不能超过二十，错误率千分之三。"项目经理追问："那化学模拟要的百万门深度怎么办？"答案就藏在变分策略这个战术里：不追求一次算完，而是把问题改造成"准备一个带参数的试探态、测一个能量、让经典算法猜下一组参数"的循环——每一轮量子设备只出浅线路，数学上的重活交给经典计算机。游击战的要义正是如此：不与敌人的主力（深度需求）正面交锋，用无数次小规模遭遇战（浅线路采样）累积战果。本节就把这场游击战从原理到代码完整过一遍。

一、VQE：把基态能量变成参数寻优

变分本征求解器的数学底座是变分原理：任意试探态的能量期望不会低于真实基态能量，于是"求基态"化归为"调参数让期望能量最小"。流程四步：选定拟设（一个参数化线路，比如单比特上的一串旋转门）；制备试探态并测量哈密顿量各项的期望值（哈密顿量拆成泡利串之和，逐项测量后加权）；把测得的能量交给经典优化器；优化器吐出新参数，回到制备。量子侧永远只干"浅线路加采样"，寻优的苦役全在经典侧——这个分工是整套战术的灵魂。

QAOA 是同一思想在组合优化上的变体：把目标函数编码成"代价哈密顿量"，线路由代价层与混合层交替叠成，层数与角度就是待调参数。两者对比一目了然：

图 5-2：变分循环——量子与经典的分工闭环

二、演练：完整跑通一个变分循环

演示问题刻意取最小：单比特哈密顿量 H = 0.8 Z + 0.6 X，精确基态能量为负一（解析可算），拟设只用一个旋转角。麻雀虽小，采样噪声、由粗到细的寻优、与精确值对账，一个不少。

# vqe.py：最小变分算法循环（仅标准库）
import math, random

def prepare(theta):
    """拟设：Ry(theta) 作用在 |0> 上，返回振幅对 (a, b)。"""
    return complex(math.cos(theta / 2)), complex(math.sin(theta / 2))

def sample_energy(theta, a, b, shots, rng):
    """Z 基与 X 基各采样 shots 次，估计 a*Z + b*X 的期望（带统计噪声）。"""
    a0, a1 = prepare(theta)
    pz0 = abs(a0) ** 2
    ez = sum(1 if rng.random() < pz0 else -1 for _ in range(shots)) / shots
    px0 = abs((a0 + a1) / math.sqrt(2)) ** 2     # X 基：哈达玛后测 Z
    ex = sum(1 if rng.random() < px0 else -1 for _ in range(shots)) / shots
    return a * ez + b * ex

def vqe(shots, rng, sweeps=4, coarse=0.3):
    """由粗到细的模式搜索：噪声目标下的朴素但稳健的爬山。"""
    theta, best = 0.0, float("inf")
    for sweep in range(sweeps):
        step = coarse / (2 ** sweep)
        improved = True
        while improved:
            improved = False
            for cand in (theta - step, theta + step):
                c = cand % (2 * math.pi)
                e = sample_energy(c, a, b, shots, rng)
                if e < best - 1e-12:
                    best, theta, improved = e, c, True
    return theta, best

a, b = 0.8, 0.6
exact = -math.hypot(a, b)
print(f"精确基态能量 {exact:+.4f}")
for shots in [50, 500, 5000]:
    rng = random.Random(9)
    th, e = vqe(shots, rng)
    print(f"每轮采样 {shots:>5} -> 估计 {e:+.4f}，theta = {th:.3f}")
​

输出里能读出四层战术结论。第一，采样越多估计越准：五千采样的能量偏离精确值不足百分之一，五十采样则差出近一成——这是游击战的弹药账：方差按采样数的平方根收敛，精度每翻一倍、弹药要翻四倍。第二，噪声地形会把朴素优化器引进假山谷：五十采样那档的参数停在与最优相差零点七弧度的位置，还自认为收益已经收敛；工业界的对策要么加大采样，要么换用对噪声鲁棒的优化器（如同时扰动随机逼近）。第三，留意五百采样那档的估计居然低于精确基态（负一点零三八对负一点零零零）——变分原理的"永不低于"只在期望严格精确时成立，采样噪声会把它捅出破口，实战里这个"破底"现象反而是诊断噪声水平的常用线索。第四，分组测量的代价已在最小例子显形：两味泡利串就要两套基各采一遍，真实化学问题的哈密顿量动辄上千项，分组与合并测量是变分算法工程化最重的一块。

三、易错点与适用边界

三条边界值得刻在案头。其一，贫瘠高原：拟设的参数一多，能量期望对参数的梯度会指数式趋平，经典优化器在平地上瞎走——缓解靠问题启发的拟设（把化学结构或图结构编进线路），而不是无脑加参数。其二，采样噪声不是设备错误率，两者会叠加：本节的模拟里设备是完美的，噪声全部来自蒙特卡洛；上真机后，门错误与读出误差再叠一层，所以 5.3 节的误差缓解是变分算法的标准前置工序。其三，变分算法的战果至今是"演示级"：它在小分子与几十节点的图上证明了自己能跑，但"跑赢最佳经典算法"仍未在小规模之外被严肃证实——把它当成长期能力投资，而非短期业绩承诺，是与这个领域打交道的健康姿势。

本节要点回顾

• 变分原理换战场：求基态化归为参数寻优，量子侧只出浅线路，深度劣势被结构性地绕开。
• VQE 与 QAOA 同宗：前者打化学基态，后者打组合优化，参数语义与理论保证各有侧重。
• 采样是弹药账：精度翻倍采样翻四倍，测量分组会放大轮数，两项成本都要列入预算。
• 噪声地形会骗人：假山谷与贫瘠高原是寻优的两大暗礁，靠鲁棒优化器与问题启发拟设应对。
• 战果定位要诚实：演示级能跑与规模级能赢之间还隔着整个容错时代。

下一节处理后勤：编译器怎么把线路改短，误差缓解怎么把已发生的污染从统计里估出来。