练习2.1

练习 2.1

我们考虑 (\mathbb{R}\backslash\{-1\}, \star)，其中

a. 证明 (\mathbb{R}\backslash\{-1\}, \star) 是一个 Abel 群。
b. 在 Abel 群 (\mathbb{R}\backslash\{-1\}, \star) 中解方程

练习 2.2

设 n 是 \mathbb{N}\backslash\{0\} 中的元素。设 k, x 是 \mathbb{Z} 中的元素。我们定义整数 k 的同余类 \bar{k} 为集合

我们现在定义 \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}（有时写作 \mathbb{Z}_n）为所有模 n 的同余类的集合。 Euclid 除法表明这个集合是一个包含 n 个元素的有限集：

对于所有 a, b \in \mathbb{Z}_n，我们定义

a. 证明 (\mathbb{Z}_n, \oplus) 是一个群。它是 Abel 群吗？
b. 现在我们为所有 a 和 b 在 \mathbb{Z}_n 中定义另一个运算 \otimes：

其中 a \times b 表示 \mathbb{Z} 中的通常乘法。设 n = 5。绘制 \mathbb{Z}_5\backslash\{0\} 中元素在 \otimes 下的乘法表，即计算所有 a 和 b 在 \mathbb{Z}_5\backslash\{0\} 中的乘积 a \otimes b。由此，证明 \mathbb{Z}_5\backslash\{0\} 在 \otimes 下是封闭的，并且存在单位元。列出 \mathbb{Z}_5\backslash\{0\} 中所有元素在 \otimes 下的逆元。得出结论：(\mathbb{Z}_5\backslash\{0\}, \otimes) 是一个 Abel 群。
c. 证明 (\mathbb{Z}_8\backslash\{0\}, \otimes) 不是一个群。
d. 回忆 Bezout 定理指出，两个整数 a 和 b 互质（即 \gcd(a, b) = 1）当且仅当存在两个整数 u 和 v 使得 au + bv = 1。证明 (\mathbb{Z}_n\backslash\{0\}, \otimes) 是一个群当且仅当 n \in \mathbb{N}\backslash\{0\} 是质数。

练习 2.3

考虑以下定义的 3 \times 3 矩阵集合 G：

我们将 \cdot 定义为标准矩阵乘法。(G, \cdot) 是一个群吗？如果是，它是 Abel 群吗？请证明你的答案。

练习 2.4

计算以下矩阵乘积（如果可能的话）：

a.

b.

c.

d.

e.

练习 2.5

求解以下非齐次线性方程组 Ax = b 的所有解，其中 A 和 b 定义如下：

a.

b.

练习 2.6

使用高斯消元法，求解非齐次方程组 Ax = b 的所有解，其中

练习 2.7

求解方程组 Ax = 12x 的所有解 x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3，其中

并且满足 \sum_{i=1}^3 x_i = 1。

练习 2.8

如果可能的话，求以下矩阵的逆矩阵：

a.

b.

练习 2.9

以下哪些集合是 \mathbb{R}^3 的子空间？
a. A = \{(\lambda, \lambda + \mu^3, \lambda - \mu^3) \mid \lambda, \mu \in \mathbb{R}\}
b. B = \{(\lambda^2, -\lambda^2, 0) \mid \lambda \in \mathbb{R}\}
c. 设 \gamma \in \mathbb{R}，C = \{(\xi_1, \xi_2, \xi_3) \in \mathbb{R}^3 \mid \xi_1 - 2\xi_2 + 3\xi_3 = \gamma\}
d. D = \{(\xi_1, \xi_2, \xi_3) \in \mathbb{R}^3 \mid \xi_2 \in \mathbb{Z}\}

练习 2.10

以下向量集合是否线性无关？

a.

b.

练习 2.11

将

表示为以下向量的线性组合：

练习 2.12

考虑 \mathbb{R}^4 的两个子空间：

确定 U_1 \cap U_2 的一个基。

练习 2.13

考虑两个子空间 U_1 和 U_2，其中 U_1 是齐次方程组 A_1x = 0 的解空间，U_2 是齐次方程组 A_2x = 0 的解空间，其中

a. 确定 U_1 和 U_2 的维数。
b. 确定 U_1 和 U_2 的基。
c. 确定 U_1 \cap U_2 的一个基。

练习 2.14

考虑两个子空间 U_1 和 U_2，其中 U_1 由 A_1 的列向量生成，U_2 由 A_2 的列向量生成，其中

a. 确定 U_1 和 U_2 的维数。
b. 确定 U_1 和 U_2 的基。
c. 确定 U_1 \cap U_2 的一个基。

练习 2.15

设 F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y - z = 0\} 和 G = \{(a - b, a + b, a - 3b) \mid a, b \in \mathbb{R}\}。
a. 证明 F 和 G 是 \mathbb{R}^3 的子空间。
b. 不借助基向量，计算 F \cap G。
c. 找出 F 和 G 的基，使用这些基向量计算 F \cap G，并验证与上一问题的结果是否一致。

练习 2.16

以下映射是否为线性映射？

a. 设 a, b \in \mathbb{R}。

其中 L^1([a, b]) 表示在 [a, b] 上的可积函数集合。

b.

其中对于 k \geq 1，C^k 表示 k 次连续可微函数集合，C^0 表示连续函数集合。

c.

d.

e. 设 \theta \in [0, 2\pi)，

练习 2.17

考虑线性映射

求变换矩阵 A_\Phi。确定 \text{rk}(A_\Phi)。计算 \Phi 的核和像。\text{dim}(\text{ker}(\Phi)) 和 \text{dim}(\text{Im}(\Phi)) 分别是多少？

练习 2.18

设 E 是一个线性空间。设 f 和 g 是 E 上的两个自同构，使得 f \circ g = \text{id}_E（即 f \circ g 是恒等映射 \text{id}_E）。证明 \text{ker}(f) = \text{ker}(g \circ f)，\text{Im}(g) = \text{Im}(g \circ f)，并且 \text{ker}(f) \cap \text{Im}(g) = \{0_E\}。

练习 2.19

考虑一个内态射 \Phi: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3，其变换矩阵（相对于 \mathbb{R}^3 的标准基）为

a. 确定 \text{ker}(\Phi) 和 \text{Im}(\Phi)。
b. 确定相对于基

的变换矩阵 \tilde{A}_\Phi，即执行向新基 B 的基变换。

练习 2.20

考虑 b_1, b_2, b'_1, b'_2 是 \mathbb{R}^2 中的四个向量，它们在 \mathbb{R}^2 的标准基下的表示为

我们定义两个有序基 B = (b_1, b_2) 和 B' = (b'_1, b'_2)。
a. 证明 B 和 B' 是 \mathbb{R}^2 的两个基，并绘制这些基向量。
b. 计算从 B' 到 B 的基变换矩阵 P^1。
c. 考虑 \mathbb{R}^3 中的三个向量 c_1, c_2, c_3，它们在 \mathbb{R}^3 的标准基下的定义为

我们定义 C = (c_1, c_2, c_3)。
(i) 证明 C 是 \mathbb{R}^3 的一个基，例如通过使用行列式（见第 4.1 节）。
(ii) 设 C' = (c'_1, c'_2, c'_3) 是 \mathbb{R}^3 的标准基。确定从 C 到 C' 的基变换矩阵 P^2。
d. 考虑一个同态 \Phi: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3，使得

其中 B = (b_1, b_2) 和 C = (c_1, c_2, c_3) 分别是 \mathbb{R}^2 和 \mathbb{R}^3 的有序基。确定 \Phi 相对于有序基 B 和 C 的变换矩阵 A_\Phi。
e. 确定 A'，即 \Phi 相对于基 B' 和 C' 的变换矩阵。
f. 考虑向量 x \in \mathbb{R}^2，其在 B' 中的坐标为 [2, 3]^\top。换句话说，x = 2b'_1 + 3b'_2。
(i) 计算 x 在 B 中的坐标。
(ii) 基于此，计算 \Phi(x) 在 C 中的坐标。
(iii) 然后，将 \Phi(x) 用 c'_1, c'_2, c'_3 表示。
(iv) 使用 x 在 B' 中的表示和矩阵 A' 直接找到这个结果。