2.1 噪声与平滑：SG窗口的艺术
2.1 噪声与平滑：SG 窗口的艺术
本节摘要：去噪前先给噪声画像——加性白噪声占绝大多数场景，靠平均压、靠平滑滤。Savitzky-Golay 用窗口内多项式拟合替代简单平均，在压噪与保峰之间取得最好的折中；窗口与阶数是仅有的两个旋钮，本节用可复算数据展示拧过头会发生什么。
整备车间的第一道工序。第 1 章入库质检给了你信噪比估值，如果没达标，就轮到本节出手。它承接第 1 章的"加性噪声"诊断，通往第 2 章后面所有工序——因为基线校正和求导都会放大噪声，先把毛刺压到合理水平，后面的工序才站得住。
一、先问噪声是什么，再谈怎么去
光谱里的噪声按来源分三类。散粒噪声：光子到达检测器本身是随机的，计数越大相对起伏越小，服从根号 N 规律；读出噪声：电子学线路的热噪声，与信号大小无关，是加性的；闪烁噪声：光源强度低频起伏，表现为慢变漂移，它其实算"基线问题"，留给 2.3、2.4 节。本节对付的是前两类——统计上表现为每个数据点独立的随机偏差，数学名字叫白噪声。
白噪声有个要害：平均会消它，信号却平均不掉。这就是一切平滑方法的理论依据——滑动窗口取平均，噪声方差降为原来的 N 分之一（N 为窗口点数），而缓慢变化的信号几乎不动。但"几乎"里藏着陷阱：谱峰是快速变化的信号，平均会把峰顶削平。
二、Savitzky-Golay：会拟合的平均
移动平均对所有窗口内数据一视同仁，峰顶自然被拉低。Savitzky-Golay（下文简称 SG）的改进只有一步：在滑动窗口内做低阶多项式最小二乘拟合，用拟合值（而不是均值）作为输出。多项式能"跟"上峰形，于是峰高保得住。它与移动平均的对比如下，数据是两个叠加高斯峰加 0.03 的白噪声：
# SG 平滑与移动平均的对照实验 import numpy as np from scipy.signal import savgol_filter np.random.seed(42) rng = np.random.default_rng(7) x = np.linspace(0, 10, 400) clean = 0.8*np.exp(-0.5*((x-5.2)/0.22)**2) + 0.25*np.exp(-0.5*((x-6.6)/0.4)**2) y = clean + rng.normal(0, 0.03, x.size) # 加噪档案 ma = np.convolve(y, np.ones(9)/9, mode='same') # 9 点移动平均 sg = savgol_filter(y, 11, 3) # SG：窗口 11，三阶 def rmse(a, b): return float(np.sqrt(np.mean((a-b)**2))) print(f"raw RMSE={rmse(y, clean):.4f}") print(f"moving-average(9) RMSE={rmse(ma, clean):.4f} peak retained={ma.max()/clean.max()*100:.1f}%") print(f"SG(11,3) RMSE={rmse(sg, clean):.4f} peak retained={sg.max()/clean.max()*100:.1f}%")
输出：
raw RMSE=0.0316 moving-average(9) RMSE=0.0133 peak retained=95.9% SG(11,3) RMSE=0.0157 peak retained=100.8%
细看这组数字，结论比"谁更好"更有意思：移动平均的 RMSE 反而更低（0.0133 对 0.0157），但主峰高度被削掉了 4.1%；SG 的 RMSE 略高，峰高却完整保留。对定量任务来说，4% 的峰高损失是系统误差，直接进结果；而 RMSE 那点劣势只是随机误差，多平均几次就能摊薄。评估平滑方法必须用"峰高保留率"这类针对特征的指标，RMSE 单打独斗会误导选型——这是本节最重要的判断训练。
三、窗口怎么选：一场拉锯战
SG 只有两个旋钮：窗口点数（奇数）与多项式阶数。窗口越大越平滑、峰形失真越多；阶数越高越贴数据、去噪越弱。固定三阶，把窗口从小到大扫一遍：
# 窗口扫描：RMSE 与峰高的双重观察 for w in [5, 11, 21, 31]: f = savgol_filter(y, w, 3) print(f"window={w:2d} RMSE={rmse(f, clean):.4f} peak={f.max():.3f}")
输出：
window= 5 RMSE=0.0227 peak=0.823 window=11 RMSE=0.0157 peak=0.806 window=21 RMSE=0.0119 peak=0.789 window=31 RMSE=0.0137 peak=0.745
注意两个现象。其一，峰高随窗口单调下降：0.823 → 0.806 → 0.789 → 0.745，窗口 31 时已经丢了 7%；其二，RMSE 不是单调的——窗口 21 时最低（0.0119），到 31 反而回升（0.0137），因为宽窗口开始"追不上"峰形，把失真本身也算进了误差。经验起点：窗口宽度约为最窄目标峰半峰宽对应的点数，再上下各试两档。阶数通常取 2 或 3；除非峰形非常尖锐，别超过 5——高阶多项式会开始"拟合噪声"。
四、工程取舍
- 平滑永远有信息损失，问自己"这份档案的哪个特征不能丢"——定量保峰高、定位保峰位、看肩峰则宁可不平滑直接上导数；
- 边缘效应：SG 在序列两端会外推失真，谱图两端各让出半个窗口宽度再分析；
- 若噪声是脉冲型（宇宙射线尖峰），先用中值滤波掐掉尖峰，再上 SG——SG 对离群点没有抵抗力；
- 仪器软件里的"smooth"按钮多半就是 SG，找到窗口设置改一下，和代码是同一件事。
💡 关键直觉：平滑的本质是"用带宽换信噪比"。最窄峰的宽度是你不能让出的底线，底线之上的带宽才可以拿去换安静。
本节要点回顾
- 先分类再动手：散粒与读出噪声靠平滑压，闪烁噪声属于基线问题；
- SG 优于移动平均的不是 RMSE 而是峰形保真，评估指标要跟着任务走；
- 窗口过宽有两个恶果：峰高系统性下降、RMSE 不降反升；
- 窗口起点设为最窄峰的半峰宽点数，阶数 2 至 3 起步；
- 尖峰污染先中值后 SG，边缘半个窗口宽度的数据慎用；
- 平滑只做一次：对已经平滑过的谱再过一遍 SG，峰高会二次缩水而噪声下降有限——鉴定所的整备记录里，每份档案的平滑参数只允许出现一次，重复平滑属于事故。
平滑解决"毛刺"，下一站处理"结构化噪声"：把谱图搬进频率域，看看噪声和信号在户口本上是怎么分居的，小波又如何给滤波装上局部开关。